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APOS理论指导下的初中数学概念教学

［摘要］概念教学是数学教学的重中之重，概念教学的质量直接关系着学生数学思维能力的发展和学生学习能力的提升.研究者以“实数”概念教学为例，将APOS理论与实数概念教学相结合，通过经历“活动—过程—对象—图式”四个阶段呈现概念的形成、展示与深化过程，在建构与完善概念的过程中提升概念教学品质，发展学生数学思维能力.

［关键词］数学概念教学；教学品质；思维能力

在传统数学概念教学中，教师容易忽视概念的形成和发展过程，使得学生对概念的本质把握不清，影响学生数学应用能力的提升和数学思维能力的发展.为了打破这一局面，基于APOS理论的概念教学应运而生.基于APOS理论的概念教学倡导自主探究学习，以期通过自主探究唤醒已有知识和新知联系，逐步完善学生知识结构，提升学生分析和解决问题的能力.

APOS理论概述

APOS理论将数学概念教学分为四个阶段，分别为：活动、过程、对象、图式.所谓“活动”，指的是借助教学情境直观感知概念的过程；所谓“过程”，指的是通过自主探究，提炼概念共同特征的过程；所谓“对象”，即抽象概念本质属性，形成概念的过程；所谓“图式”，指的是沟通新知与旧知的联系，建构数学知识体系的过程.这样通过经历以上四个阶段的建构，可以让学生对概念形成更深刻、更系统的理解，促进学生思维能力的发展与提升.

教学案例

在“实数”概念教学中，教师结合APOS理论四个阶段的特征，引导学生经历概念抽象的全过程，实现APOS理论与实数教学的有效融合，培养学生勤于思考、乐于探究的学习品质，提升概念教学质量.

1.活动阶段

该阶段教师结合教学实际创设有效的教学情境，以此化抽象为直观，让学生更好地走近新知，提升学生参与课堂的积极性.在本课教学中，教师结合教学内容引导学生“动手做”，让学生在做的过程中感受新知.

课前准备：两张面积为1的正方形卡纸（要求：两张卡纸颜色不同）；剪刀.

问题1将两张卡纸拼在一起，可以拼成什么图形，图形的面积是多少？请写出关于面积的等式.

学生回答：可以拼成一个长方形，其面积为2，令两张卡纸的面积分别为S，S，则长方形的面积为S+S=2.

追问1：若将两个正方形拼成一个大的正方形，可以怎么拼（可以裁剪）.

师生活动：在教师的启发和指导下，学生沿正方形的对角线将正方形卡纸平均分成两份，得到四个面积相等的等腰三角形，从而拼出如图1所示的正方形.

追问2：如图1所示的正方形面积是多少？边长是多少？

学生回答：正方形面积是2；边长是.

追问3：到底有多大呢？

师生活动：教师引导学生利用计算器计算.

追问4：根据计算结果，你认为是一个怎样的数呢？

学生回答：它是一个无限不循环的小数.

问题2请利用计算器将如下各数转化为小数：，-，，.

追问5：这些数是什么数？转化为小数后呢？

学生回答：以上各数都是有理数，转化后有的是有限小数，有的是无限循环小数.

教学说明：从学生已有的学习经验出发，引导学生通过动手操作获得无理数的直观感.教学中教师没有直接给出无理数的概念，而是引导学生借助计算器计算的大小，发现它是一个无限不循环小数，在此基础上，教师引导学生与有理数相类比，发现无理数均可以转化为有限小数和无限循环小数，由此引发认知冲突，学生自然会形成这样的困惑“到底是一个怎样的数？”这样通过经历如上探究活动，使学生的情感态度发现转变，即由“要我学”向“我要学”转变.

问题3我们把，等这样无限不循环小数称之为无理数.说说无理数有何特征？

学生回答：无限不循环小数.

问题4无理数与有理数有何区别与联系？

师生活动：教师引导学生从性质、结构、范围等方面进行比较，进一步理解无理数.

教学说明：通过问题1和问题2的探究，学生对无理数已经建立了初步感知，而借助问题3和问题4的探究可以进一步加强学生对无理数概念的理解.另外，在此过程中引导学生与有理数概念相类比，通过区别进一步加深对无理数概念的理解，通过联系自然引出实数的概念.

2.过程阶段

该阶段是学生对活动阶段的深度思考过程，通过对现有问题的反复思考与实践探究，提炼概念的共同特征.该阶段教师不妨以学生的已有认知为出发点，设计由浅入深，环环相扣的问题，引导学生通过问题的解决知晓实数概念的特征，提高学生数学概括能力.

问题5你是否能够在数轴上表示无理数呢？

结合已有的有理数学习经验，学生认为无理数也能在数轴上表示出来，不过该如何表示，学生感觉一片茫然.为了解决这一问题，教师设计了这样一个实验活动，首先画一个数轴，在数轴上找到“2”，记为点A，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取AB=1，连接OB，以点O为圆心，OB长为半径作圆，圆O与数轴的正、负半轴分别交于点C和点D，问点C和点D表示的数是什么？

学生根据以上过程分别得到点C和点D，并根据勾股定理知