湖南省邵阳市邵东市2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学试卷.docx

2024年下学期邵东市高二联考

数学试卷

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

测试范围：人教A版2019选择性必修第一册+选择性必修第二册

（空间向量与立体几何、直线和圆的方程、圆锥曲线的方程、数列、导数）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线的倾斜角是（）

A．30° B．60° C．120° D．150°

2．已知双曲线的离心率为，则的焦点坐标为（）

A． B． C． D．

3．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（）

A． B． C． D．

4．设数列满足，，则（）

A． B． C． D．4

5．已知函数，则（）

A． B． C． D．

6．设等差数列的前项和为，且公差不为0，若，，构成等比数列，，则（）

A．7 B．8 C．10 D．12

7．若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（）

A． B． C．2 D．

8．已知双曲线，，是它的两个焦点，为坐标原点，是双曲线右支上一点，

，则（）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9．已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（）

A． B．

C． D．

10．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则（）

A．焦点的坐标为

B．过点恰有2条直线与抛物线有且只有一个公共点

C．直线与抛物线相交所得弦长为8

D．抛物线与圆交于，两点，则

11．已知函数，则下列结论正确的是（）

A．有两个零点 B．有两个极值点

C．若，则 D．若方程有两个根，则

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．已知直线与垂直，则实数_______________.

13．函数的最小值为_______________.

14．已知数列的首项，且满足对任意都成立，则能使成立的正整数的最小值为_______________.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）已知圆过点，，且直线平分圆的周长.

（1）求圆的方程；

（2）过点的直线和圆交于，两点，若，求直线的方程.

16．（15分）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，是的中点，在线段上，且.

（1）求证：.

（2）求平面与平面夹角的正弦值.

17．（15分）已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.

18．（17分）已知数列满足：，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和；

（3）设，记数列的前项和，求证：.

19．（17分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，已知平行四边形两条对角线的长度之和等于4.

（1）求动点的轨迹方程；

（2）过作互相垂直的两条直线、，与动点的轨迹交于、，与动点的轨迹交于点、，、的中点分别为、；证明：直线恒过定点，并求出定点坐标；

（3）在（2）的条件下，求四边形面积的最小值.年高二数学上学期期末考试卷

参考答案：

1．C【详解】由直线，可得直线的斜率，

设其倾斜角为，可得，所以，故选：C.

2．B【详解】根据题意得，双曲线是焦点在轴的双曲线，所以，，所以，解得，所以，所以焦点坐标为.故选：B.

3．D【详解】关于平面对称的点的特点是横坐标与竖坐标不变，纵坐标相反，

故点关于平面对称的点的坐标是，故选：D.

4．A【详解】由，，则，则，，则.故选：A.

5．B【详解】，令

，故选：B.

6．C【详解】设公差为，由题意可得，

即，解得舍去，或，

所以，可得，故选：C.

7．A【详解】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线

距离最小.设切点为，，所以切线斜率为，由题知，解得或（舍），，此时点到直线距离.故选：A

8．D【详解】设点坐标为，，由题意可知，，，则，，，.在中，由余弦定理可得：，

即，解得.因为，

则.因为，

所以，解得.又因为点在双曲线，

所以，

则，故选：D.

9．ABD【详解】若两直线不重合，则其方向向量平行（垂直）是两直线平行（垂直）的充要条件，故A、B正确：若两平面不重合，则其法向量平行（垂直）是两平面平行（垂直）的充要条件，故D正确，C错误.故选：ABD.

10．ACD【详解】由题可知抛物线方程为，对于A，焦点的坐标为，故A正确；对于B，过点有抛物线的2条切线，还有，共3条直线与抛物线有且只有一个交点，故B错误；对于C，，弦长为

，故C正确；对于D，，