专题05 解三角形(10类题型全归纳）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（北京专用）（原卷版）.docx

专题05解三角形

目录

TOC\o1-1\h\u题型01利用正（余）弦定理解三角形 1

题型02三角形解的个数 2

题型03判断三角形形状 3

题型04三角形面积（定值） 4

题型05三角形面积（最值或范围） 5

题型06三角形边长 6

题型07三角形边的代数和问题 6

题型08三角形周长（最值或范围） 7

题型09三角形中线 8

题型10三角形角平分线 9

题型01利用正（余）弦定理解三角形

【解题规律·提分快招】

①

②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则：

；

；

；

【典例1-1】（2024·北京海淀·二模）在中，，则的长为（????）

A．6或 B．6 C． D．3

【典例1-2】（2024·北京延庆·一模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则，的面积为．

【变式1-1】（2023·北京丰台·三模）在中，，则边上的高等于（????）

A． B． C． D．

【变式1-2】（2024·北京西城·三模）在中，若，，，则，.

【变式1-3】（2024·北京昌平·二模）已知中，，则．

题型02三角形解的个数

【解题规律·提分快招】

1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角；

2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。

例如：已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:（多解情况）

eq\o\ac(○,1)若A为锐角时:

eq\o\ac(○,2)若A为直角或钝角时:

【典例1-1】（23-24高一下·北京·期末）在中，角所对的边分别为已知，，给出下列五个a的值：①；②；③；④2；⑤3．其中能使得△ABC存在且唯一确定的是（????）

A．①④ B．②③ C．④⑤ D．②④⑤

【典例1-2】（23-24高一下·北京·阶段练习）在中，，满足此条件有两解，则边长度的取值范围为.

【变式1-1】（23-24高一下·北京·期中）已知在中，，若满足条件的三角形有且只有一个，则a的取值范围是（????）

A． B．或

C． D．或

【变式1-2】（2023·北京朝阳·一模）在中，，，．

（1）若，则；

（2）当（写出一个可能的值）时，满足条件的有两个．

【变式1-3】（23-24高一下·北京延庆·期末）在中，，，请从①，②，③中选择一个，使存在且唯一，写出满足要求的一个条件的序号.

题型03判断三角形形状

【解题规律·提分快招】

判断三角形形状时，可利用正余弦实现边角转化，统一成边或角的形式，还要注意三角形自身的特点

①sinA=sinB?A=B?△ABC为等腰三角形

②sinA=cosB?或?△ABC直角三角形或钝角三角形

③sin2A=sin2B?A=B或?△ABC为等腰三角形或钝角三角形

④cos2A=cos2B?A=B?△ABC为等腰三角形

⑤??△ABC为直角三角形

⑥?

或??△ABC为钝角三角形

或?

⑦?

且??△ABC为锐角三角形

且?

【典例1-1】（24-25高三上·上海闵行·期中）在中，已知，且，则的形状为（???）

A．直角三角形 B．等腰直角三角形

C．有一个角为的直角三角形 D．等边三角形

【典例1-2】（24-25高三上·北京朝阳·开学考试）已知△的三个内角所对的边分别为，则下列条件能推导出△一定为锐角三角形的是．

①；②；③；④.

【变式1-1】（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且，则一定是（?????）

A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形

【变式1-2】（24-25高一上·上海·课后作业）在中，（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则的形状为.

【变式1-3】（23-24高一下·河南三门峡·期中）已知中，内角，，的对边分别为，，，，则的形状是.

题型04三角形面积（定值）

【解题规律·提分快招】

①；

②（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；

【典例1-1】（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，，则的面积为（????）

A． B． C． D．

【典例1-2】（24-25高二上·北京·期中）在中，，，点在边上，，，则（1）；（2）的面积为.

【变式1-1】（23-24高一下·北京·期中）在中，角A，B，C的对边分别是，点为边BC上的一点，，则的面积为（????）

A