专题06 数列求通项(9类题型全归纳）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（北京专用）（原卷版）.docx

专题06数列求通项

目录

TOC\o1-1\h\u题型01法 1

题型02类法已知等式中左侧含有： 2

题型03累加法 3

题型04累乘法 4

题型05用“待定系数法”构造等比数列 5

题型06用“同除法”构造数列 6

题型07用“倒数变换法”构造等差数列 6

题型08形如()型 7

题型09形如()型 7

题型01法

【解题规律·提分快招】

①；

②

①-②：

【典例1-1】（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知递增数列的前n项和为，若，，则k的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【典例1-2】（2023·北京东城·一模）已知数列各项均为正数，，为其前n项和.若是公差为的等差数列，则，.

【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（???）

A． B． C． D．

【变式1-2】（2023·北京·模拟预测）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为．

【变式1-3】（2023·北京·模拟预测）设数列的前项和，则；使得命题“，都有”为真命题的一个的值为.

题型02类法已知等式中左侧含有：

【解题规律·提分快招】

已知等式中左侧含有：作差法（类似）例：已知求

【典例1-1】（2024·江苏盐城·模拟预测）若数列满足，的前项和为，则（????）

A． B．

C． D．

【典例1-2】（2024·广东广州·模拟预测）已知数列满足，设数列的前项和为，则满足的实数的最小值为．

【变式1-1】（2024·天津北辰·模拟预测）设数列满足，则数列的前5项和为（???）

A． B． C． D．

【变式1-2】（23-24高二下·吉林长春·期中）已知数列是正项数列，且，则（????）

A．216 B．260 C．290 D．316

【变式1-3】（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知数列满足，则.

题型03累加法

【解题规律·提分快招】

若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。

具体步骤：

将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：

=

整理得：=

【典例1-1】（2023·北京大兴·三模）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设各层球数构成一个数列，，，，…，则（????）

??

A． B． C． D．

【典例1-2】（2024·北京西城·一模）在数列中，.数列满足.若是公差为1的等差数列，则的通项公式为，的最小值为.

【变式1-1】（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列满足，且，则的最小值是（????）

A． B．

C． D．

【变式1-2】（2024·河北唐山·二模）已知数列满足，，则（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【变式1-3】（2023·云南红河·一模）已知数列满足：，则（????）

A．21 B．23 C．25 D．27

题型04累乘法

【解题规律·提分快招】

若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。

具体步骤：

将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：

整理得：

【典例1-1】（22-23高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列的项满足，而，则（???）

A． B． C． D．

【典例1-2】（23-24高二上·江苏盐城·期末）数列满足，则.

【变式1-1】（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）已知数列满足，，，则（????）

A． B． C． D．

【变式1-2】（2022·山西太原·二模）已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式.

【变式1-3】（2023·陕西咸阳·模拟预测）数列满足，且（且），若的前项和为，则满足的最小正整数的值为.

题型05用“待定系数法”构造等比数列

【解题规律·提分快招】

形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.

标准模型：（为常数，）或（为常数，）

【典例1-1】已知数列满足，且，则的通项公式为（????）

A． B． C． D．

【典例1-2】若数列满足，，，则数列的前项和.

【变式1-1】已知数列满足，，则