2024_2025学年高中数学第三章统计案例复习提升课学案新人教A版选修2_3.docVIP

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第三章统计案例

章末复习提升课

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线性回来分析

[问题展示](选修2-3P101复习参考题A组T2)假如美国10家工业公司供应了以下数据：

公司

销售总额x1/百万美元

利润x2/百万美元

通用汽车

126974

4224

福特

96933

3835

埃克森

86656

3510

IBM

63438

3758

通用电气

55264

3939

美孚

50976

1809

菲利普·莫利斯

39069

2946

克莱斯勒

36156

359

杜邦

35209

2480

德士古

32416

2413

(1)作销售总额和利润的散点图，依据该图猜想它们之间的关系应是什么形式；

(2)建立销售总额为说明变量，利润为预报变量的回来模型，并计算残差；

(3)计算R2，你认为这个模型能较好地刻画销售总额和利润之间的关系吗？请说明理由．

【解】(1)将销售总额作为横轴x，利润作为纵轴y，依据表中数据绘制散点图如图．

由于散点图中的样本点基本上在一个带状区域内分布，猜想销售总额与利润之间呈线性相关关系．

(2)由最小二乘法的计算公式，得eq\o(a,\s\up6(^))≈1334.5，eq\o(b,\s\up6(^))≈0.026，

则线性回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.026x＋1334.5.

其残差值计算结果见下表：

销售总额

126974

96933

86656

63438

55264

利润

4224

3835

3510

3758

3939

残差

－411.824

－19.758

－77.556

774.112

1167.636

销售总额

50976

39069

36156

35209

32416

利润

1809

2946

359

2480

2413

残差

－850.876

595.706

－1915.556

230.066

235.684

(3)对于(2)中所建立的线性回来方程，R2≈0.457，说明在线性回来模型中销售总额只能说明利润改变的46%，所以线性回来模型不能很好地刻画销售总额和利润之间的关系．

经分析预料，美国通用汽车等10家大公司的销售总额xi(i＝1，2，…，10，单位：百万美元)与利润yi(i＝1，2，…，10，单位：百万美元)的近似线性关系为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.026x＋eq\o(a,\s\up6(^))，经

（2）若通用汽车公司的销售总额x1＝126974（百万美元），残差＝－387，估计通用汽车的利润；

（3）福特公司的销售总额为96933百万美元，利润为3835，比较通用汽车与福特公司利润的说明变量对于预报变量改变的贡献率说明白什么？,（以上答案精确到个位）

得样本中心点为(62309，2930)，

所以eq\o(a,\s\up6(^))＝2930－0.026×62309＝1310.

(2)由(1)知eq\o(y,\s\up6(^))＝0.026x＋1310，

当x1＝126974时，

eq\o(y,\s\up6(^))1＝0.026×126974＋1310≈4611，

所以y1＝eq\o(y,\s\up6(^))1＋eq\o(e,\s\up6(^))1＝4611＋(－387)＝4224，

估计通用汽车的利润为4224百万美元．

(3)由(1)(2)可得通用汽车利润的说明变量对于预报变量改变的贡献率为Req\o\al(2,1)，

则Req\o\al(2,1)＝1－eq\f(（y1－\o(y,\s\up6(^))1）2,（y1－\o(y,\s\up6(－))）2)＝1－eq\f(（－387）2,（1294）2)≈0.911＝91.1%.

设福特公司利润的说明变量对于预报变量改变的贡献率为Req\o\al(2,2)，

由eq\o(y,\s\up6(^))＝0.026x＋1310得

eq\o(y,\s\up6(^))2＝0.026×96933＋1310≈3830，

则Req\o\al(2,2)＝1－eq\f(（3835－3830）2,（3835－2930）2)＝1－eq\f(52,9052)≈0.9999＝99.99%.

由Req\o\al(2,1)＜Req\o\al(2,2)知，用eq\o(y,\s\up6(^))＝0.026x＋1310作为说明变量与预报变量的关系，预报通用汽车的效果没有预报福特公司的效果好，或者说预报通用汽车的精确度低于预报福特公司的精确度．