热点12 双曲线及其应用（9题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（天津专用）（解析版）.docx

热点12双曲线及其应用

三年考情分析

2025考向预测

2022年，第7题，考察双曲线的渐近线和方程

2023年，第9题，考察双曲线的渐近线和方程

2024年，第8题，考察双曲线的焦点三角形和方程

双曲线是圆锥曲线中的重要内容，是天津高考命题的重要考点。考试中主要考查双曲线方程，离心率，双曲线中焦点三角形问题，主要以选择题方式呈现。

题型1根据双曲线定义求方程

1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.

这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

2、集合语言表达式

双曲线就是下列点的集合:.

3、说明

若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小.

(1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;

(2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.

一、单选题

1．（24-25高三上·辽宁·期末）已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（???）

A． B．

C． D．

【答案】B

【知识点】利用双曲线定义求方程、求双曲线的轨迹方程

【分析】延长交直线于点，连接，由条件判断且为中点，利用中位线性质得且，从而利用双曲线的定义得点在以，为焦点的双曲线上，进而利用双曲线的标准方程求解轨迹方程即可.

【详解】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接，

因为，且，所以，且为中点，

所以，且，

因此，，

所以点在以，为焦点的双曲线上，

设的方程为，可知，所以，

又，则，所以的方程为，即，

又点是圆外一点，

所以，即，故所求轨迹方程为.

故选：B

2．（24-25高二上·四川成都·期末）设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【知识点】利用双曲线定义求方程、求平面轨迹方程

【分析】由已知条件知，点的运动轨迹是以为焦点的双曲线，从而可求得轨迹的方程.

【详解】，

动点的轨迹是以为焦点的双曲线，且，

，双曲线的方程为.

故选：B.

3．（24-25高二上·湖南邵阳·阶段练习）一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是（）

A． B．

C． D．

【答案】C

【知识点】求平面轨迹方程、利用双曲线定义求方程

【分析】结合图象利用双曲线的定义判断动圆圆心的轨迹，然后再求方程即可.

【详解】圆与圆外切，如图，

，即，

，

由双曲线的定义，点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线的左支，其中，，

．

故所求轨方程为：．

故选：C．

4．（24-25高二上·广西玉林·期中）一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为.

【答案】

【知识点】利用双曲线定义求方程、求双曲线的轨迹方程

【分析】求出已知圆的圆心和半径，再利用两圆外切建立等式求出轨迹方程.

【详解】圆的圆心，半径，

圆的圆心，半径，

设动圆的圆心，半径为，依题意，，

则，因此动圆的圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线下支，

实半轴长，半焦距，虚半轴长，方程为.

故答案为：

5．（24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）代数与几何是数学的两个重要分支，它们之间存在着紧密的联系.将代数问题转化为几何问题，可以利用几何直观来理解和解决代数问题，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，满足方程的的值为.

【答案】

【知识点】判断方程是否表示双曲线、利用双曲线定义求方程

【详解】方程变形后，几何意义为平面内一点到两定点距离之差为，由双曲线定义得到点在双曲线左支上，代入求出.

【分析】由，

得，

其几何意义为平面内一点到两定点距离之差为，

由于，由双曲线定义可得点在双曲线的左支上，

所以，解得或（舍去）.

故答案为：.

题型2判断参数范围是否表示双曲线

1．（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）“”是“方程表示双曲线”的（????）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据方程表示双曲线求参数的范围

【分析】根据方程表示双曲线求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】若方程表示双曲线，则，解得，

所以由推不出方程表示双曲线，故充分性不成立，

由方程表示双曲线推得出，故必要性成立，

所以“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件.

故选：B

2．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知方程表示双曲线，则m的取值范围为（?????）

A． B．或

C． D．

【答案】B

【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围

【分析】根据双曲线的概念，解不等式即可.

【详解】因为方程表示双曲线，所以，