热点12 双曲线及其应用（9题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（天津专用）（原卷版）.docx

热点12双曲线及其应用

三年考情分析

2025考向预测

2022年，第7题，考察双曲线的渐近线和方程

2023年，第9题，考察双曲线的渐近线和方程

2024年，第8题，考察双曲线的焦点三角形和方程

双曲线是圆锥曲线中的重要内容，是天津高考命题的重要考点。考试中主要考查双曲线方程，离心率，双曲线中焦点三角形问题，主要以选择题方式呈现。

题型1根据双曲线定义求方程

1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.

这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

2、集合语言表达式

双曲线就是下列点的集合:.

3、说明

若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小.

(1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;

(2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.

一、单选题

1．（24-25高三上·辽宁·期末）已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（???）

A． B．

C． D．

2．（24-25高二上·四川成都·期末）设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为（????）

A． B． C． D．

3．（24-25高二上·湖南邵阳·阶段练习）一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是（）

A． B．

C． D．

4．（24-25高二上·广西玉林·期中）一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为.

5．（24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）代数与几何是数学的两个重要分支，它们之间存在着紧密的联系.将代数问题转化为几何问题，可以利用几何直观来理解和解决代数问题，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，满足方程的的值为.

题型2判断参数范围是否表示双曲线

1．（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）“”是“方程表示双曲线”的（????）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知方程表示双曲线，则m的取值范围为（?????）

A． B．或

C． D．

3．（23-24高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知曲线表示双曲线，则实数m的取值范围是（????）

A． B． C． D．

4．（2023·上海浦东新·三模）已知曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是．

5．（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知双曲线C的方程为，则的取值范围为．

题型3双曲线上点到焦点与定点距离和、差最值

利用椭圆定义求距离和差的最值的两种方法：

（1）抓住与之和为定值，可联系到利用基本不等式求的最值；

（2）利用定义转化或变形，借助三角形性质求最值

1．（23-24高二上·天津·期末）已知双曲线的离心率为2，右焦点为，动点在双曲线右支上，点，则最大值为（???）

A． B．

C． D．

2．（2023·天津南开·一模）已知拋物线上一点到准线的距离为是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的一动点，则的最小值为（????）

A．12 B．11 C．10 D．9

3．（2024·辽宁·二模）已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为，焦距为8，点的坐标为，点为的右支上的一点，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

4．（2022·青海西宁·二模）设双曲线的左焦点为，点为双曲线右支上的一点，且与圆相切于点，为线段的中点，为坐标原点，则（????）

A．- B．-1 C．- D．-2

5．（2023·贵州遵义·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点A在双曲线C的右支上，若，则的最小值为．

题型4双曲线中焦点三角形问题

（1）双曲线的焦点为F1、F2，为双曲线上的点，，如图，则（灵动双曲线焦点三角形面积公式）．

（2）灵活运用定义：

（3）灵活运用余弦定理：

（4）灵活运用基本不等式

1．（2024·天津南开·二模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（????）

A． B．

C． D．

2．（2024·天津南开·一模）已知O为坐标原点，双曲线C：的左、右焦点分别是，离心率为，点P是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，则点P到C的两条渐近线距离之积为（????）

A． B． C．2 D．4

3．（2024·天津和平·一模）设双曲线的左、右焦点分别为点，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，，的面积为，且，若双曲线C的实轴长为4，则双曲线C的方程为（????）

A． B