2024_2025学年高中数学复习课二导数及其应用教案含解析北师大版选修2_2.docVIP

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复习课(二)导数及其应用

导数的概念及几何意义的应用

(1)近几年的高考中，导数的几何意义和切线问题是常考内容，各种题型均有可能出现，一般难度较小．

(2)利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点．

eq\a\vs4\al([考点精要])

(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；

(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；

(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝eq\f(f?x1?－f?x0?,x1－x0)求解．

[典例](2024·天津高考)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图像在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．

[解析]因为f′(x)＝a－eq\f(1,x)，所以f′(1)＝a－1，又f(1)＝a，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0，得y＝1.

[答案]1

[类题通法]

利用导数的几何意义解决切线问题的两种状况

(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．

(2)假如已知点不是切点，则应先出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．

[留意]曲线与直线相切并不肯定只有一个公共点，例如，y＝x3在(1,1)处的切线l与y＝x3的图像还有一个交点(－2，－8)．

eq\a\vs4\al([题组训练])

1．曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为()

A．y＝3x－1 B．y＝－3x－1

C．y＝3x＋1 D．y＝－2x－1

解析：选A因为y′＝ex＋xex＋2，所以曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线的斜率k＝y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0))＝3，∴切线方程为y＝3x－1.

2．已知曲线y＝x3－1与曲线y＝3－eq\f(1,2)x2在x＝x0处的切线相互垂直，则x0的值为()

A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(3,3),3)

C.eq\r(3)D.eq\f(\r(3,9),3)

解析：选Dy＝x3－1?y′＝3x2，y＝3－eq\f(1,2)x2?y′＝－x，由题意得3xeq\o\al(2,0)·(－x0)＝－1，解得xeq\o\al(3,0)＝eq\f(1,3)，即x0＝eq\r(3,\f(1,3))＝eq\f(\r(3,9),3)，故选D.

导数与函数的单调性

题型既有选择题、填空题也有解答题，若以选择题、填空题的形式出现，则难度以中、低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主，主要考查求函数的单调区间、证明或推断函数的单调性等问题。

eq\a\vs4\al([考点精要])

函数的单调性与导函数值的关系

若函数f(x)在(a，b)内可导，则f′(x)在(a，b)随意子区间内部不恒等于0.

f′(x)＞0?函数f(x)在(a，b)上单调递增；

f′(x)＜0?函数f(x)在(a，b)上单调递减．

反之，函数f(x)在(a，b)上单调递增?f′(x)≥0；函数f(x)在(a，b)上单调递减?f′(x)≤0.即f′(x)＞0(f′(x)＜0)是f(x)为增(减)函数的充分不必要条件．

特殊要留意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，肯定不能用“∪”连接．

[典例](2024·全国卷Ⅲ节选)已知函数f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x，探讨f(x)的单调性．

[解]f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x)＋2ax＋2a＋1＝eq\f(?x＋1??2ax＋1?,x).

若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

若a＜0，则当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2a)))时，f′(x)＞0；

当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)，＋∞))时，f′(x)＜0.

故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2a)))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)，＋∞))上单调递减．

[类题通法]

求函数的单调区间的方法步骤

(1)确定函数f(x)的定义域．

(2)计算函数f(x)的导数f′(x)．

(3)解不等式f′(x)＞0，得到函数f(x)的递增区间；解不等式f′(x)＜0，得到函数f(x)的递减区间．

[留意]求函数