重难点01 利用导函数研究恒（能）成立问题（5题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（天津专用）（解析版）.docx

重难点01利用导函数研究恒（能）成立问题

三年考情分析

2025年考向预测

2024年，第20题第（2）问，考察不等式恒成立求参数

利用导数研究不等式恒（能）成立问题，是导数应用的重点，常涉及函数单调性，最值，常使用变量分离法，分类讨论法，今后也是天津高考重点考点。

题型1不等式恒成立问题（变量分离法）

用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；

步骤：

①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）

②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．

③求最值.

1．（2023·天津红桥·一模）已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程：

(2)若恒成立，求实数的取值范围；

【答案】(1)

(2)

【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题

【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案；

（2）利用分离参数法，将不等式恒成立转化为函数的最值问题，即构造函数，利用导数求出其最大值，即可求得答案；

【详解】（1）当时，函数的定义域为0,+∞，，，

曲线y=fx在点处的切线方程的斜率，

则切线方程为；

（2）若恒成立，则恒成立，

设，x∈0,+∞，，

由，得，由，得，

函数在上单调递增，在上单调递减.

.；

2．（2023·天津河西·模拟预测）已知．

(1)求在处的切线方程；

(2)对，有恒成立，求的最大整数解；

【答案】(1)

(2)3

【知识点】利用导数研究双变量问题、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）

【分析】（1）求出函数的导数，求出，即可得到切线方程；

（2）等价于，求导分析的单调性，即可求出的最大整数解；

【详解】（1）的导数为：

，

所以，，

所以在处的切线方程为：

，即；

（2）由已知可得，

等价于，

可令，，

记，，

所以为上的递增函数，

且，，

所以，，即，

所以在上递减，在上递增，

且，

所以的最大整数解为3；

3．（2017·安徽·三模）已知函数

(1)求的单调区间和极值；

(2)若对任意，成立，求实数m的最大值．

【答案】(1)单调增区间是，单调减区间是，极小值，无极大值

(2)4

【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参）

【分析】（1）求导，再根据导函数的符号求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可求出极值；

（2）对任意，成立，即恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最小值即可得解.

【详解】（1）由，得，

令，得；令，得，

∴的单调增区间是，单调减区间是，

故在处有极小值，无极大值；

（2）由及，得恒成立，

令，则，

由，由，

所以在上是减函数，在上是增函数，

所以，

因此，所以m的最大值是4．

4．（2023·天津河北·一模）已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)讨论函数的单调性；

(3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值.

【答案】(1)；

(2)递减区间是，递增区间是；

(3)3.

【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题

【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.

（2）利用导数求出的单调区间作答.

（3）等价变形给定的不等式，构造函数，利用导数求出函数的最小值情况作答.

【详解】（1）函数，求导得，则，而，

所以曲线在点处的切线方程是.

（2）函数的定义域是，，

当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，

所以函数的递减区间是，递增区间是.

（3），，

令，求导得，

由（2）知，在上单调递增，，，

因此存在唯一，使得，即，

当时，，即，当时，，即，

因此函数在上单调递减，在上单调递增，

于是，则，

所以整数的最大值是3.

【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.

5．（2022·天津·模拟预测）已知函数.

(1)试判断函数在上单调性并证明你的结论；

(2)若对于恒成立，求正整数的最大值；

(3)求证：．

【答案】(1)函数在上为减函数，证明见解析

(2)

(3)证明见解析

【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性

【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系可得出结论；

（2）由恒成立，即恒成立，构造函数，其中，利用导数求出函数的最小值，即可得出整数的最大值；

（3）由（2）可得出，令，可得出，利