《13.3.1 等腰三角形的性质》中档提升 (1).docx

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《13.3.1等腰三角形的性质》中档提升

1.如图，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C=65°，则∠DBC的度数是（）

A.25°

B.20°

C.30°

D.15°

2.如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为（）

A.60°

B.65°

C.70°

D.75°

3.在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC=124°，∠CDE=72°，则∠ACD=（）

A.16°

B.28°

C.44°

D.45°

4.（易错警示题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出不同的等腰三角形的个数最多为（）

A.4

B.5

C.6

D.7

5.如果一等腰三角形的顶角为钝角，过这个等腰三角形的一个顶点的直线将这个等腰三角形分成两个等腰三角形，那么这个等腰三角形的顶角的度数为.

6.（易错警示题）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为.

7.如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，DE，DF分别垂直AB，AC于点E和F.求证：DE=DF.

8.（素养提升题）已知△ABC中，AB=AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE，设∠BAD=，∠CDE=，

（1）如图1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上.∠ABC=60°，∠ADE=70°，则=°；=°.

图1

（2）如图2，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则，之间有什么关系式？说明理由.

图2

（3）是否存在不同于（2）中的，之间的关系式？若存在，请写出这个关系式（写出一种即可），说明理由；若不存在，请说明理由.

解题模型发散思维

模型等腰三角形“等边对等角”性质的应用模型

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，求∠B的度数.

【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，

∵∠A=40°，∴∠B=（180°-40°）÷2=70°.

应用模型：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C.

参考答案

1.答案：D

2.答案：B

3.答案：C

4.答案：D

5.答案：108°

6.答案：69°或21°

7.答案：见解析

解析：方法一：连接AD.

∵AB=AC，点D是BC边上的中点，

∴AD平分∠BAC（三线合一），

∵DE，DF分别垂直AB，AC于点E和F.

∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）.

方法二：在△ABC中，∵AB=AC，

∴∠B=∠C（等边对等角）.

∵点D是BC边上的中点，

∴BD=DC.

∵DE，DF分别垂直AB，AC于点E和F，

∴∠BED=∠CFD=90°.

在△BED和△CFD中，

∴△BED≌△CFD（AAS），

∴DE=DF（全等三角形的对应边相等）.

8.答案：见解析

解析：（1）∵AB=AC，∠ABC=60°，

∴∠BAC=60°，

∵AD=AE，∠ADE=70°，

∴∠DAE=180°-2∠ADE=40°，

∴=∠BAD=60°-40°=20°，

∴∠ADC=∠BAD+∠ABD=20°+60°=80°，

∴=∠CDE=∠ADC-∠ADE=10°.

（2）设∠ABC=x，∠AED=y，

∴∠ACB=x，∠ADE=y，在△DEC中，y=+x，

在△ABD中，+x=y+=+x+，

∴=2.

（3）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上时，如图1，设∠ABC=x，∠ADE=y，

∴∠ACB=x，∠AED=y，

在△ABD中，x+=-y，在△DEC中，x+y+=180°，

∴=2-180°，

图1

②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上时，如图2，同①的方法可得=180°-2.

图2