重难点02 利用导函数研究函数的零点（含隐零点问题）（5题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（天津专用）（解析版）.docx

重难点02利用导函数研究函数的零点（含隐零点问题）

三年考情分析

2025年考向预测

2022年，第20题第（2）问，考察隐零点的应用

利用导数研究函数零点是导数应用的重点，常涉及函数单调性，函数图象，通常转化为两个函数，根据图象，画出图象（画图常涉及极限）

题型1判断（讨论）零点（根）个数问题

（1）直接法：令则方程实根的个数就是函数零点的个；

（2）零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且，再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数；

1．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）已知.

(1)若，证明：存在唯一零点；

(2)当时，讨论零点个数.

【答案】(1)证明见详解

(2)有2个零点

【知识点】零点存在性定理的应用、利用导数研究函数的零点

【分析】（1）利用导函数研究函数在上的单调性，进而根据零点存在性定理证明即可；

（2）分类讨论，利用导函数研究单调性，根据零点存在性定理求解即可.

【详解】（1）由题意，，

则，

由于，所以，则，又，所以，

进而，所以在上单调递减，

又，，

根据零点存在性定理可知：函数在上存在唯一零点.

（2），，则，，

当时，因为，

所以，

此时单调递减，，

所以在上没有零点，

当时，令，

则，

所以f′x在上单调递增，又，

故当时，f′x0，则在上单调递减，又，

当时，f′x0，故在上单调递增，

因此，当时，只有一个零点，即，

当时，，所以f′x在上单调递减，

又，，

故，使得，且当时，f′x0，单调递增，

当时，，f′x0，单调递减，

而，，

所以当时，，此时无零点，

当时，只有一个零点，

综上可知：时，有2个零点.

【点睛】方法点睛：判断函数y=fx

（1）直接法：令则方程实根的个数就是函数零点的个；

（2）零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且，再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数；

（3）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.

2．（24-25高三上·湖南永州·开学考试）已知函数，，．

(1)若，求的极值；

(2)当时，讨论零点个数；

【答案】(1)极大值，无极小值

(2)答案见解析

【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点

【分析】（1）对求导，根据导数的正负得出单调区间，进而得出极值；

（2）对求导，根据导数的正负得出单调区间，进而得出最小值，设，再根据导数确定的正负，结合，当时，，即可得出零点情况；

【详解】（1）当时，，则，

令，解得，

当时，，则在单调递增，

当x∈0,+∞时，，则在0,+∞

所以有极大值，无极小值．

（2），

令，则，因为，所以，

当时，，则在上单调递减，

当时，，则在上单调递增，

所以，

设，则，

因为，所以，所以在单调递减，

又因为，

所以当时，，则，无零点；

当时，，有1个零点，

当时，，又，当时，，有2个零点．

3．（2023·天津河东·一模）已知函数，．

(1)求函数在点处的切线方程；

(2)，，．

（ⅰ）证明；

（ⅱ）求函数在区间上零点的个数证明．

【答案】(1)

(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）3个，证明见解析

【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点

【分析】（1）根据导数的几何意义，结合直线方程，即可得到结果；

（2）（ⅰ）直接代入计算，即可证明；

（ⅱ）求导可得，得到其极值点，通过对其单调性的研究分分不同区间进行讨论，即可得到其零点个数；

【详解】（1），切线斜率为，，

切线方程为，∴

（2）（ⅰ），；

（ⅱ）即为，

解得，，，

当时，；当时，，

且在区间，上单调递减，在区间上单调递增，

，

∵，∴

在区间上单调递增，，

，令

令，，∵，∴，

在上单调减，，∴

在上单调递增，

，，，在区间单调递减

因此在区间上存在唯一零点

由已知，由（2）（ⅰ）

，，∴

在区间单调递减，在区间上存在唯一零点

综上所述，在区间上存在3个零点．

【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.

4．（23-24高二下·天津河北·期中）已知函数.

(1)判断函数的单调性，并求出函数的极值；

(2)画出函数的大致图象；

(3)讨论方程的解的个数.

【答案】(1)在上递增，在上递减，极大值；

(2)函数图象见解析；

(3)答案见解析.

【知识点】画出具