3.2.2++奇偶性++课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.pptx

3.2.2奇偶性

知识点一函数的奇偶性奇、偶函数的定义定义??偶函数奇函数非奇非偶函数?定义域特征等价形式??既不是奇函数又不是偶函数的函数,称为非奇非偶函数??

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2.奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性设f(x),g(x)的定义域分别是F,G,若F＝G,则有下列结论:f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)f(x)g(x)f(g(x))偶函数偶函数偶函数奇函数奇函数偶函数奇函数奇函数注:上述表格中不考虑f(x)+g(x)＝0和f(x)-g(x)＝0的情况;f(g(x))中,需x∈G,g(x)∈F.不能确定奇偶性偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数

示例已知y＝f(x)是定义在X上的奇函数,给出下列函数:①y＝f(|x|);②y＝f(-x);③y＝xf(x);④y＝f(x)+x.其中是奇函数的有___________.(填序号)解:∵f(|-x|)＝f(|x|),∴①为偶函数;∵f(-x)＝-f(x),令g(x)＝-f(x),则g(-x)＝-f(-x)＝f(x)＝-g(x),∴②为奇函数;令F(x)＝xf(x),则F(-x)＝(-x)f(-x)＝xf(x)＝F(x),∴③是偶函数;令h(x)＝f(x)+x,则h(-x)＝f(-x)-x＝-f(x)-x＝-h(x),∴④是奇函数.②④

知识点二奇、偶函数的图象特征(几何意义)1.奇函数和偶函数的图象特征如果一个函数是奇函数,那么这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形;反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,那么这个函数是奇函数.如果一个函数是偶函数,那么它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.概念剖析:如果f(x)为奇函数,点(x,f(x))在其图象上,那么点(-x,f(-x)),即点(-x,-f(x))也在f(x)的图象上.如果f(x)为偶函数,点(x,f(x))在其图象上,那么点(-x,f(-x)),即点(-x,f(x))也在f(x)的图象上.

示例下列四个结论:①偶函数的图象一定与y轴相交;②奇函数的图象一定经过原点;③偶函数的图象关于y轴对称;④奇函数y＝f(x)(x∈X)的图象必过点(-a,f(a)).表述正确的个数是()A.1B.2C.3D.4?A

2.函数的奇偶性与单调性的关系奇函数f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相同的单调性;偶函数f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相反的单调性.简记为“奇同偶异“.例如,f(x)＝x3在区间(-3,-1)和(1,3)上单调性相同;f(x)＝x2在区间(-3,-1)和(1,3)上的单调性相反(如图3-2-18).

3.函数的奇偶性与函数值及最值的关系函数的自变量互为相反数时,奇函数的函数值互为相反数,即f(-a)＝-f(a);偶函数的函数值相等,即f(-a)＝f(a).奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数;偶函数在关于原点对称的区间上的最值相同,取最值时的自变量互为相反数.

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知识点三函数图象的对称性1.函数图象关于点成中心对称图形(1)函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数;(2)推广:函数y＝f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x+a)-b为奇函数;(3)函数的图象成中心对称图形的常用结论f(x)在定义域内满足条件f(x)图象的对称中心f(a+x)+f(a-x)=2b点(a,b)f(x)+f(a-x)=b点?f(a+x)+f(b-x)=c点

2.函数图象关于直线成轴对称图形(1)函数y＝f(x)的图象关于y轴(即直线x＝0)成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数;(2)推广:函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x+a)为偶函数;(3)函数的图象成轴对称图形的常用结论f(x)在定义域内满足条件f(x)图象的对称轴f(a+x)=f(a-x)直线x=af(x)=f(2a-x)直线x=af(a+x)=f(b-x)直线x=

示例函数f(x)＝x3-3x2的图象的对称中心是()A.(1,2)B.(-1,-2)C.(1,-2)D.(-1,2)解:对于A,若函数f(x)＝x3-3x2的图象的对称中心是点(1,2),则有f(1-x)+f(1+x)＝4恒成立,即(1-x)3-3(1-x)2+(1+x)3-3(1+x)2＝4,整理