向量组的秩和线性相关性.pptVIP

?§2.2向量组的秩和线性相关性§2.2向量组的秩和线性相关性一.基本概念列向量组:?1,?2,…,?s矩阵A=(?1,?2,…,?s)矩阵A的秩向量组?1,?2,…,?s的秩r(?1,?2,…,?s)第二章n维列向量?

?行向量组:?1,?2,…,?s矩阵A的秩向量组?1,?2,…,?s的秩矩阵A=?1?2?s…r(?1,?2,…,?s)§2.2向量组的秩和线性相关性第二章n维列向量

?r(?1,?2,…,?s)?sr(?1,?2,…,?s)sr(?1,?2,…,?s)=s?1,?2,…,?s线性无关?1,?2,…,?s线性相关§2.2向量组的秩和线性相关性第二章n维列向量(linearlydependent)(linearlyindependent)

??1,?2,…,?s线性相关??1T,?2T,…,?sT线性相关几个显然的结论:(1)注意:不要混淆:“矩阵A的列向量组线性相关”“矩阵A的行向量组线性相关”与如:A=101010§2.2向量组的秩和线性相关性第二章n维列向量

第二章n维列向量??=0.只含有一个向量?的向量组线性相关含有零向量的向量组一定线性相关.??,?的分量成比例.含两个向量?,?的向量组线性相关当sn时,任意s个n维向量都线性相关.?2.2向量组的秩和线性相关性

例题2.2求下列向量矩阵的的秩，并判断它们是不是线性相关的。n维基本单位向量组

故A的秩等于2，因此三个向量线性相关。则因为，所以行列式的秩小于3，明显解：(1)记的，A的2阶行列式

因为ε1,ε2,...,εn对应的矩阵是单位矩添加标题阵,从而其秩为n，故该向量组是线性无关的添加标题容易求得r(A)=3,因此向量组线性无关。添加标题记添加标题

例题2.3设线性无关，且证明：线性无关。解：只对列向量的情形证明。记据已知条件知，B=AP而矩阵P是可逆的，因此，r(A)=r(B)，因此线性无关。

?二.向量组秩的性质A:?1,?2,…,?rB:?1,?2,…,?s若B组中的每个向量都能由A组中的向量线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表示.1.给定两个向量组§2.2向量组的秩和线性相关性第二章n维列向量能由线性表示,例如:2030,1001,但2030不能由线性表示.,1001,

?若向量组B能由向量组A线性表示，同时向量组A能由向量组B线性表示,则称这两个向量组等价.§2.2向量组的秩和线性相关性第二章n维列向量A:?1,?2,…,?rB:?1,?2,…,?s4.给定两个向量组显然,(1)向量组A与其自身等价(反身性);(2)若A与B等价,则B与A等价(对称性);(3)若A与B等价且B与C等价,则B与A等价(传递性).

010203040506定理2.1如果向量组β1,β2,...,βt可以由α1,α2单击此处添加小标题推论2.1如果向量组β1,β2,...,βt可以由α1,单击此处添加小标题,...,αs线性表示,则单击此处添加小标题α2,...,αs线性表示,且ts,则向量组β1,β2,单击此处添加小标题r{β1,β2,...,βt}≤r{α1,α2,...,αs}单击此处添加小标题...,βt一定线性相关。单击此处添加小标题

α2,...,αs等价,则单击此处添加小标题推论2.2如果向量组β1,β2,...,βt与向量组α1,单击此处添加小标题r{β1,β2,...,βt}=r{α1,α2,...,αs}单击此处添加小标题推论2.3如果向量组β1,β2,...,βt与向量组α1,单击此处添加小标题α2,...,αs都线性无关且相互等价，则s=t

?例2.4.设有两个向量组I:?1=[1,1],?2=[1,?1],?3=[2,1],II:?1=[1,0],?2=[1,2].即I可以由II线性表示.则?1=?1+?2,2121?2=?1??2,2321?3=?1+?2,2321即II可以由I线性表示.?1=?1+?2+0?3,2121?2=?1?