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高一数学大题试题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数$f(x)=x^33x+1$，则$f(x)$在区间$(\infty,+\infty)$上的极值点为（）

A.$x=1$和$x=1$

B.$x=0$和$x=2$

C.$x=1$和$x=3$

D.$x=1$和$x=3$

二、填空题（每题5分，共25分）

2.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$处取得最小值，则$a$、$b$、$c$之间的关系为______。

3.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=2n^2+n$，求该数列的通项公式。

4.设直线$y=kx+m$与圆$x^2+y^2=1$相切，求$k^2+m^2$的最小值。

5.已知函数$f(x)=\sqrt{1x^2}$，求函数的定义域。

三、解答题（每题20分，共60分）

6.已知函数$f(x)=x^33x+1$，求函数的单调区间和极值。

答案：

一、选择题

1.答案：A

解析：求导得$f(x)=3x^23$，令$f(x)=0$，得$x=\pm1$。再求二阶导数$f(x)=6x$，当$x=1$时，$f(1)=60$，故$x=1$是极大值点；当$x=1$时，$f(1)=60$，故$x=1$是极小值点。

二、填空题

2.答案：$a0$，$b=2a$，$c$为任意常数。

3.答案：$a_n=4n3$。

解析：由等差数列前$n$项和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，代入$S_n=2n^2+n$，得$2n^2+n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。当$n=1$时，$a_1=3$。当$n\geq2$时，$a_n=S_nS_{n1}=4n3$。

4.答案：$k^2+m^2$的最小值为$1$。

解析：直线$y=kx+m$与圆$x^2+y^2=1$相切，则圆心到直线的距离等于半径，即$\frac{|m|}{\sqrt{k^2+1}}=1$。两边平方，得$m^2=k^2+1$。故$k^2+m^2=k^2+(k^2+1)=2k^2+1$。当$k=0$时，$k^2+m^2$取得最小值$1$。

5.答案：$1\leqx\leq1$。

解析：由$1x^2\geq0$，得$1\leqx\leq1$。

三、解答题

6.解答：

（1）求导得$f(x)=3x^23$，令$f(x)=0$，得$x=\pm1$。

（2）求二阶导数$f(x)=6x$，当$x1$时，$f(x)0$，函数单调递减；当$1x1$时，$f(x)0$，函数单调递增；当$x1$时，$f(x)0$，函数单调递增。

（3）故函数的单调递减区间为$(\infty,1)$和$(1,+\infty)$，单调递增区间为$(1,1)$。

（4）由一阶导数的正负可知，$x=1$是极大值点，$x=1$是极小值点。代入$f(x)$，得极大值$f(1)=3$，极小值$f(1)=1$。