专题训练：角平分线（解析版） (1).docx

专题训练：角平分线

题型1角平分线的运用

1．（2021·广东深圳市·八年级期末）如图，中，，平分，交于点，，，则的长为（）

A．4 B．8 C．3 D．6

【答案】C

【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后利用△ABD的面积公式列式计算即可得解．

【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，

∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD，

∴S△ABD=AB?DE=×18?DE=27，解得：DE=3，∴CD=3．故选：C．

【点睛】该题主要考查了角平分线的性质、三角形的面积公式及其应用问题，解题的关键是作辅助线．

2．（2021·河南七年级期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为（）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作N关于BD的对称点，根据轴对称性质、两点之间线段最短和垂线段最短的定理可以得到CM+MN的最小值即为C点到AB的垂线段，因此根据面积公式可以得解．

【详解】解：如图，作N关于BD的对称点，连结N，与BD交于点O，过C作CE⊥AB于E，则

∵BD平分∠ABC，∴在AB上，且MN=M，

∴CM+MN=，

∴根据两点之间线段最短可得CM+MN的最小值为，即C点到线段AB某点的连线，

∴根据垂线段最短，CM+MN的最小值为C点到AB的垂线段CE的长度，

∵△ABC的面积为10，∴，∴CE=5，故选B．

【点睛】本题考查轴反射的综合运用，熟练掌握轴反射的特征、两点之间线段最短及垂线段最短等性质是解题关键．

3．（2021·湖南八年级期中）在△ABC中，∠C＝90°，角平分线AD交BC于点D，BC=32，BD：CD＝9：7，则D点到AB边的距离为（）

A．18 B．16 C．14 D．12

【答案】C

【分析】首先由线段的比求得CD＝14，然后利用角平分线的性质可得D到边AB的距离等于CD的长．

【详解】解：如图，∵BD＋CD＝BC＝32，BD：DC＝9：7，∴CD＝14，作DE⊥AB于E，

∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD＝14，（角平分线上的点到角的两边的距离相等）

即点D到AB的距离为14，故选：C．

【点睛】此题主要考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．做题时要由已知中线段的比求得线段的长，这是解答本题的关键．

4．（2021·重庆南开中学七年级期末）如图，在中，，点D在BC边上，连接AD，点E、F分别为AB边，AC边上的点，连接DE、DF，使得DA平分∠EDF，且DE=DF，过点D作DG⊥AB于点G．（1）若DFAB，求证：AE=DE；（2）求证：DG=CD．

【答案】见详解

【分析】（1）先利用平行线性质证得，再利用角平分线的定义证得，利用等量代换可得，即可得到答案AE=DE；

（2）先证，得，即可利用角平分线的性质得到答案．

【详解】解：（1）∵∴

∵DA平分∠EDF∴∴∴AE=DE．

（2）∵，DE=DF，AD=AD∴∴

∵，DG⊥AB∴DG=CD．

【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质以及全等的应用，解题关键是利用性质找到角与角之间的关系．

5．（2021·福建九年级一模）如图，将绕点按逆时针方向旋转的度数得到．

（1）尺规作图：确定的顶点的位置（保留作图痕迹，不写作法与证明过程）；

（2）连接，，设的延长线交于点，连接．求证：平分．

【答案】（1）作图见解析，（2）证明见解析．

【分析】(1)作∠EAB=∠DAC，截取AE=AB即可；

(2)作AN⊥DE，AC⊥BC，交ED延长线于N，BG于M，证AN=AM即可．

【详解】解：(1)点E位置如图所示；

(2)证明：作AN⊥DE，AC⊥BC，交ED延长线于N，BG于M，由旋转可知≌，DE=BC，

∴，，

∴，∴，∴平分．

【点睛】本题考查了尺规作图和角平分线的判定，解题关键是明确尺规作图方法，熟练运用角平分线的判定证明．

6．（2021·湖北）（1）模型：如图1，在中，平分，，，求证：．

（2）模型应用：如图2，平分交的延长线于点，求证：．

（3）类比应用：如图3，平分，，，求证：．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；

【分析】（1）由题意得DE=DF，，，即可得出：=AB：AC；

（2）在AB上取点E，使得AE=AC，根据题意可证△ACD≌△AED，从而可求出，，即可求解；（3）延长BE至M，使EM=DC，连接AM，根据题意可证△ADC≌△AEM，故而得出AE为∠BAM的角平分线，即，即可得出答案；

【详解】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE⊥AC，∴DE=DF，

∵，，∴：=AB：AC；

（2）如图，在AB上取