专题07 立体几何外接球与内切球 截面问题(6类题型全归纳）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（北京专用）（原卷版）.docx

专题07立体几何外接球与内切球+截面问题

目录

TOC\o1-1\h\u题型01内切球等体积法 1

题型02内切球独立截面法 2

题型03补形法 3

题型04单面定球心法（定+算） 4

题型05双面定球心法（两次单面定球心） 5

题型06平行线（相交线）法做截面 6

题型01内切球等体积法

【解题规律·提分快招】

例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下：

即：，

可求出.

【典例1-1】（24-25高三上·浙江·开学考试）若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的余弦值为，则此圆台与其内切球的体积之比为（????）

A． B．2 C． D．

【典例1-2】（23-24高一下·福建龙岩·期末）已知球O内切于圆台EF，其轴截面如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，，且，则圆台EF的体积为（????）

??

A． B． C． D．

【变式1-1】（2024·河南开封·二模）已知经过圆锥的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下两部分几何体的体积之比是（????）

A． B． C． D．

【变式1-2】（23-24高一下·湖北黄冈·期末）若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的半径为，当该圆锥体积是球体积两倍时，该圆锥的高为（）

A． B． C． D．

【变式1-3】（24-25高三上·河北保定·开学考试）如图，已知球内切于圆台（即球与该圆台的上?下底面以及侧面均相切），且圆台的上?下底面半径，则球与圆台侧面的切痕所在平面分圆台上下两部分体积比为.

??

题型02内切球独立截面法

【解题规律·提分快招】

定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。

定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。

【典例1-1】（2024·江苏宿迁·三模）若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为，该四棱锥的体积为，则的值为（????）

A． B． C． D．

【变式1-1】（23-24高一下·浙江宁波·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，则其内切球表面积为（????）

A． B． C． D．

题型03补形法

【解题规律·提分快招】

①墙角模型（三条线两个垂直）

题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）

②对棱相等模型（补形为长方体）

题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）

【典例1-1】在中，，，E，F，G分别为三边，，的中点，将，，分别沿，，向上折起，使得A，B，C重合，记为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（????）

A． B． C． D．

【典例1-2】据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，则这个“阳马”的外接球表面积为（????）

A． B． C． D．

【变式1-1】三棱锥中，平面ABC，且，且，三棱锥的外接球表面积为（????）

A．16π B．20π C． D．24π

【变式1-2】已知三棱锥的所有棱长均为2，球为三棱锥的外接球，则球的表面积为（????）

A． B． C． D．

【变式1-3】在边长为4的正方形ABCD中，如图甲所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把和折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥，如图乙所示，则三棱锥外接球的体积是；过点M的平面截三棱锥外接球所得截面的面积的取值范围是.

??

题型04单面定球心法（定+算）

【解题规律·提分快招】

步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）；

②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上；

③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径.

【典例1-1】已知球O是正三棱锥的外接球，若正三棱锥的高为，底边，则球心O到平面ABC的距离为（????）

A． B． C． D．

【典例1-2】在四面体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球表面积为.