2024_2025学年高中数学第三章导数及其应用3.3.2函数的极值与导数课后训练案巩固提升含解析新人教A版选修1_1.docxVIP

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3.3.2函数的极值与导数

课后训练案巩固提升

1.(2024山东潍坊高二检测)若函数f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6,则a的值是()

A.0 B.1 C.5 D.6

解析:∵f(x)=2x3-3x2+a,∴f(x)=6x2-6x=6x(x-1),令f(x)=0,得x=0或x=1,经推断易知极大值为f(0)=a=6.

答案:D

2.函数y=14x4-13x3的极值点的个数为(

A.0 B.1 C.2 D.3

解析:y=x3-x2=x2(x-1),由y=0得x1=0,x2=1.

当x改变时,y,y的改变状况如下表:

x

(-∞,0)

0

(0,1)

1

(1,+∞)

y

-

0

-

0

+

y

单调递减↘

无极值

单调递减↘

微小值

单调递增↗

因此函数只有一个极值点.

答案:B

3.(2024四川绵阳高二月考)下列函数中,x=0是其极值点的是()

A.f(x)=-x3 B.f(x)=-cosx

C.f(x)=sinx-x D.f(x)=1

解析:选项A中,y=-3x2≤0恒成立,所以函数在R上递减,无极值点;

选项B中,y=sinx,当-πx0时函数单调递增,当0xπ时函数单调递减且y|x=0=0,符合;

选项C中,y=cosx-1≤0恒成立,所以函数在R上递减,无极值点;

选项D中,y=1x在(-∞,0)与(0,+∞)上递减,无极值点.故选B

答案:B

4.已知函数f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1既存在极大值又存在微小值,则实数m的取值范围是()

A.(-1,2) B.(-∞,-3)∪(6,+∞)

C.(-3,6) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)

解析:由已知得方程f(x)=0,即3x2+2mx+(m+6)=0有两个不同的实数根,由Δ0得m的取值范围.

答案:B

5.(2024广东珠海高二月考)已知a0,b0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,若t=ab,则t的最大值为()

A.2 B.3 C.6 D.9

解析:∵f(x)=4x3-ax2-2bx+2,

∴f(x)=12x2-2ax-2b.

又f(x)在x=1处取得极值,

∴f(1)=12-2a-2b=0.

∴a+b=6,∴t=ab≤a+b22=9(当且仅当a=b=3时等号成立),∴tmax=

答案:D

6.函数f(x)=a+lnxx(a∈R)的极大值等于

解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=(1

令f(x)=0,得x=e1-a,当0xe1-a时,f(x)0;

当xe1-a时,f(x)0,所以函数的极大值等于f(e1-a)=1e1-a=

答案:ea-1

7.若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数a的取值范围为.?

解析:由题意,f(x)=3x2+2x-a,则f(-1)f(1)0,即(1-a)(5-a)0,解得1a5,另外,当a=1时,函数f(x)=x3+x2-x-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,当a=5时,函数f(x)=x3+x2-5x-4在区间(-1,1)没有极值点.故实数a的范围为[1,5).

答案:[1,5)

8.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+4在x=1处取得极值52

(1)求a,b的值;

(2)求函数的另一个极值.

解:(1)因为f(x)=x3+ax2+bx+4,

所以f(x)=3x2+2ax+b.

依题意可得f(1)=0,f(1)=52

即3+2a+b=0,1+a

(2)由(1)知f(x)=x3-12x2-2x+4,f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1)

令f(x)=0,得x=-23或x=

当x改变时,f(x),f(x)的改变状况如下表:

x

-

-2

-

1

(1,+∞)

f(x)

+

0

-

0

+

f(x)

单调递增↗

极大值

单调递减↘

微小值

单调递增↗

所以函数的另一个极值在x=-23处取得,是极大值,极大值为f-

9.导学2024河北衡水中学期中考试)已知二次函数f(x)=ax2+bx-1在x=-1处取得极值,且f(x)的图象在点(0,-1)处的切线与直线2x-y=0平行.

(1)求f(x)的解析式;

(2)求函数g(x)=xf(x)+2x的极值.

解:(1)由f(x)=ax2+bx-1,得f(x)=2ax+b.

由题设,可得f

即-

所以f(x)=x2+2x-1.

(2)由(1),得g(x)=xf(x)+2x=x3+2x2+x,

所以g(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1).

令g(x)=0,解得x=-1或x=-13

x改变时,g(x),g(x)的改变状况如下表:

x

(-∞,-1)

-1

-

-1

-

g(x)

+

0

-

0

+

g(