热点05 利用导数研究切线与单调性问题（9题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（天津专用）（解析版）.docx

热点05利用导数研究切线与单调性问题

三年考情分析

2025考向预测

切线：

2022年，第20题（1），考察求“在”型切线

2023年，第20题（1），考察求“在”型切线

2024年，第20题（1），考察求“在”型切线

导数的切线问题，单调性问题一直是天津高考数学的中重点内容，从近几年的高考情况来看，高考依旧会涉及导数的运算及几何意义，以选择填空题或出现在解答题第一问的形式考察导数的意义、求曲线的切线方程，导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档。

题型1“在”型切线

已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.

步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.

第二步：计算切线斜率.

第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。

根据直线的点斜式方程得到切线方程：.

1．（2022·河南焦作·二模）函数的图象在处的切线方程为（???）

A． B．

C． D．

【答案】B

【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）

【分析】利用导数，由切点和斜率求得切线方程.

【详解】由题意，函数，可得，

所以，，

所以在处的切线方程为，即.

故选：B

2．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数，则曲线在处的切线方程为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）

【分析】导函数在处的函数值即为斜率，点斜式即可写出直线方程.

【详解】因为，所以，故，，所以曲线y=fx在处的切线方程为，即.

故选：D.

3．（23-24高三上·天津滨海新·期中）函数的导数为，曲线在处的切线方程为．

【答案】

【知识点】导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）

【分析】由导数运算法则可求导数，再利用导数求出斜率，由点斜式可得切线方程.

【详解】设，，

则；

所以，且，

即直线斜率，过点，

故曲线在处的切线方程为，

即，

故答案为：；.

4．（22-23高三上·天津滨海新·期中）已知函数，则曲线在处的切线方程是

【答案】

【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、导数的运算法则、简单复合函数的导数

【分析】先求出导函数，求出,在处点为,再根据点斜式求出直线再转化为一般式即可.

【详解】,

，曲线在处的切线过点,

则曲线在处的切线方程是，即.

故答案为:.

5．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为.

【答案】

【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）

【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程.

【详解】因为，所以，

令，得，解得，所以切线斜率为2，

因为，令，得，

解得，所以切点坐标为.

所以在点处的切线方程为，即.

故答案为：.

题型2“过”型切线

已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.

步骤：第一步：设切点

第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；

第三步：令：，解出，代入求斜率

第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.

1．（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点可作曲线的切线条数为（????）

A．1 B．2 C．3 D．0

【答案】B

【知识点】求过一点的切线方程

【分析】根据导数的几何意义，结合该点是不是切点分类讨论进行求解即可.

【详解】由，

当点是切点时，此时切线的斜率为，此时有一条切线；

当点是不切点时，设切点为，则切线的斜率为，

切线方程为：，该切线过点，

于是有

或（舍去），

综上所述：过点可作曲线的切线条数为，

故选：B

2．（2024·天津和平·二模）过点作曲线的切线，则切点的坐标为．

【答案】

【知识点】基本初等函数的导数公式、求过一点的切线方程

【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义建立方程，将代入求解即可.

【详解】设切点的坐标为，由，，

所以过切点的切线方程为：，

把代入得：?2t=?t?2

所以，则切点坐标为：即.

故答案为：

3．（2024·贵州·模拟预测）过点作曲线的切线，请写出切线的方程.

【答案】或

【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的加减法、求过一点的切线方程

【分析】设切点，求导并写出切线方程，代入点求出值即可.

【详解】设切点为，而，

所以切线的斜率，故切线方程为，

因为切线过点，，

化简可得或，则切点为或，

则代入得切线方程为：或，

故答案为：或.

4．（2024·江西鹰潭·三模）已知函数.

(1)求曲线过点的切线方程；

【答案】(1)

【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、求过一