2024_2025学年高中数学第四讲数学归纳法证明不等式二用数学归纳法证明不等式举例讲义含解析新人教A版选修4_5.docVIP

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二用数学归纳法证明不等式举例

1．利用数学归纳法证明不等式

在不等关系的证明中，方法多种多样，其中数学归纳法是常用的方法之一．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，经常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．

2．归纳—猜想—证明的思想方法

数学归纳法作为一种重要的证明方法，经常体现在“归纳—猜想—证明”这一基本思想方法中．一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论；更重要的是，要用不完全归纳法去发觉某些结论、规律并用数学归纳法证明其正确性，形成“视察—归纳—猜想—证明”的思想方法．

利用数学归纳法证明不等式

[例1]证明不等式1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(n))＜2eq\r(n)(n∈N＋)．

[思路点拨]

eq\x(\a\al(验证n＝1时，,不等式成立))―→eq\x(\a\al(假设n＝k成立，,推证n＝k＋1))―→eq\x(\a\al(n＝k＋1成,立，结论得证))

[证明](1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时不等式成立，

即1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(k))＜2eq\r(k)，

则当n＝k＋1时，左边＝1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(k))＋eq\f(1,\r(k＋1))＜2eq\r(k)＋eq\f(1,\r(k＋1))＝eq\f(2\r(k(k＋1))＋1,\r(k＋1))，

现在只需证明eq\f(2\r(k(k＋1))＋1,\r(k＋1))＜2eq\r(k＋1)成立，

即证2eq\r(k(k＋1))＜2k＋1成立，

两边平方并整理，得0＜1，明显成立，

所以eq\f(2\r(k(k＋1))＋1,\r(k＋1))＜2eq\r(k＋1)成立．

即1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(k))＋eq\f(1,\r(k＋1))＜2eq\r(k＋1)成立．

所以当n＝k＋1时，不等式成立．

由(1)(2)可知，对于随意正整数n，原不等式都成立．

数学归纳法证明不等式的技巧

(1)证明不等式时，由n＝k到n＝k＋1时的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，须要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”才能运用到n＝k时的假设，所以须要仔细分析，适当放缩，才能使问题简洁化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一．

(2)数学归纳法的应用通常须要与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等，才能完成证明过程．

1．设Sn是数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))的前n项和，当n≥2时，比较S2n与eq\f(n＋2,2)的大小，并予以证明．

解：由S22＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＝eq\f(25,12)＞eq\f(2＋2,2)，S23＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋…＋eq\f(1,8)＞S22＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＞eq\f(2＋2,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3＋2,2)，猜想：S2n＞eq\f(n＋2,2)(n≥2)．

下面用数学归纳法证明．

(1)当n＝2时，上面已证不等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥2)时，有S2k＞eq\f(k＋2,2)，

则当n＝k＋1时，

S2k＋1＝S2k＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)＋…＋eq\f(1,2k＋1)＞eq\f(k＋2,2)＋eq\f(2k,2k＋1)

＝eq\f(k＋2,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f((k＋1)＋2,2)，

即当n＝k＋1时，不等式也成立．

结合(1)(2)可知，S2n＞eq\f(n＋2,2)(n≥2，n∈N＋)成立．

2．用数学归纳法证明：

1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)2－eq\f(1,n)(n≥2，n∈N＋)．

证明：(1)当n＝2时，1＋eq\f(1,22)＝eq\f(5,4)2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立，

即1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\