热点07 正弦定理与余弦定理（8题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（天津专用）（原卷版）.docx

热点07正弦定理与余弦定理

三年考情分析

2025考向预测

2022年，第16题，考察解三角形和三角函数

2023年，第16题，考察解三角形和三角函数

2024年，第16题，考察解三角形和三角函数

解三角形”是每年天津高考常考内容，出现在解答题中。对于解答题，一是考查正弦定理、余弦定理的简单应用；二是考查两个定理的综合应用，常与两角和差公式，二倍角公式综合在一起考察。

题型1利用正（余）弦定理解三角形

1、在中，若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则

①

②；；；

③

④

⑤，，（可实现边到角的转化）

⑥，，（可实现角到边的转化）

2、余弦定理

2.1余弦定理的描述

①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.

②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则：

；

2.2余弦定理的推论

；

；

1．（2024·天津北辰·三模）在中，，为外心，且，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

2．（2024·天津红桥·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，且．

(1)求的值；

(2)求的值；

(3)求的值．

3．（2024·天津·一模）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，.

(1)求的值；

(2)求的值；

(3)求的值.

4．（2024·天津河东·一模）在三角形中，角所对的边分别为．已知，．

(1)求角的大小；

(2)求的值；

(3)求边的值．

5．（2023·天津北辰·三模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．满足．

(1)求角B的大小；

(2)设，．

（ⅰ）求c的值；

（ⅱ）求的值．

题型2判断三角形形状

判断三角形形状时，可利用正余弦实现边角转化，统一成边或角的形式，还要注意三角形自身的特点

①sinA=sinB?A=B?△ABC为等腰三角形

②sinA=cosB?或?△ABC直角三角形或钝角三角形

③sin2A=sin2B?A=B或?△ABC为等腰三角形或钝角三角形

④cos2A=cos2B?A=B?△ABC为等腰三角形

⑤??△ABC为直角三角形

⑥?

或??△ABC为钝角三角形

或?

⑦?

且??△ABC为锐角三角形

且?

1．（2024·河北秦皇岛·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（????）

A．为直角三角形 B．为锐角三角形

C．为钝角三角形 D．的形状无法确定

2．（2024·陕西渭南·三模）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（????）

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形

3．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且，则的形状为（????）

A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形

C．顶角为的等腰三角形 D．等腰直角三角形

4．（2023·甘肃酒泉·三模）在中内角的对边分别为，若，则的形状为（????）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

5．（2023·内蒙古呼和浩特·一模）在中，D是BC边的中点，且，，，则的形状为（????）

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．无法确定

题型3正弦定理判断三角形解的个数

1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角；

2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。

例如：已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:（多解情况）

eq\o\ac(○,1)若A为锐角时:

eq\o\ac(○,2)若A为直角或钝角时:

1．（2024·湖北黄冈·一模）已知的内角所对的边分别为，，下面可使得有两组解的的值为（????）

A． B． C． D．

2．（2024·宁夏银川·三模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，若有两解，则c的取值可能为（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

3．（23-24高一下·天津河西·期中）根据下列情况，判断三角形解的情况，其中有唯一解的是（????）

A． B．

C． D．

4．（23-24高一下·浙江宁波·期中）在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

5．（23-24高一下·天津·阶段练习）在中，已知b=2，A=30°，且该三角形有唯一解，则a取值范围

题型4三角形边长比值（代数和）

方法：化角

利用正弦定理；;将边化为角；

根据题意求出角的范围；

结合辅助角公式化简求解

1．（23-24高一下·天津滨海新·期末）已知的三个内角的对边分别为，且．

(1)求；

(2)若的面积是，求；

(3)若为边上一点，且满足，，试求的最大值．

2．（2024·广东·模拟预测）