《等腰三角形中辅助线的添加》期末常考题型专练.docxVIP

《等腰三角形中辅助线的添加》期末常考题型专练

类型一等腰三角形中有底边中点时，常作底边上的中线

1.如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是BC边的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且BE=AF，求证:ED⊥FD.

类型二等腰三角形中没有底边中点时，常作底边上的高

2.如图，△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC，求证:EB⊥AB.

类型三等腰三角形中证与腰有关联的线段之间的关系时，常作腰的平行线

3.如图，在△ABC中，AB=AC，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.

(1)求证:PD=QD;

(2)过点P作直线BC的垂线，垂足为E，P，Q在移动的过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.

类型四等腰三角形中证与底边有关联的线段之间的关系时，常作底边的平行线

4.如图，D是等边△ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，连结DE交AC于F，过D点作DG⊥AC于G点.

(1)求证:AG=12

(2)若DF=EF，求证:CE=AD.

类型五补形法

5.如图所示，AD平分∠BAC，过点C作AD的垂线，垂足为D，作DE∥AB交AC于点E，求证:AE=CE.

类型六倍长中线法

6.【项目式学习试题】【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题:如图1，AD是△ABC的中线，若AB=5，AC=3，求AD的长的取值范围.

【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长AD至点E，使ED=AD，连结BE，可以证出△ADC≌△EDB，利用全等三角形的性质可将已知长度的线段与AD转化到△ABE中，进而求出AD的长的取值范围.

方法小结:从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”.

(1)请你利用上面解答问题的思路方法，写出求AD的长的取值范围的过程;

【问题解决】

(2)如图2，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC，下列四个结论中，正确的是;(填序号)?

①∠ACD=∠BCD;②CE=2CD;③∠BCD=∠BCE;④CD=CB.

【问题拓展】

(3)如图3，在△ABO和△CDO中，OA=OB，OC=OD，∠AOB与∠COD互补，连结AC、BD，E是BD的中点，求证:OE=12

图1图2图3

7.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AC上的一点，BE交AD于点F，已知AE=EF.求证:AC=BF.

类型七截长补短法

8.如图所示，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证:AC=AE+CD.

9.如图，已知AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上，求证:BC=AB+CD.

10.如图1，AD是△ABC的角平分，∠B=2∠C，试探究线段AB，BD，AC之间的数量关系.

图1图2

由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以可以尝试将角平分线一侧的三角形翻折(构造全等三角形)，小明的解题思路如下:

①如图2，在AC上取一点E，使AE=AB，连结DE.

②由AB=AE，AD平分∠BAE，AD是公共边，可得△ABD≌△AED(理由:)，则∠B=∠AED，BD=DE.?

③由∠B=2∠C，∠B=∠AED得∠AED=2∠C.

又因为∠AED=∠EDC+∠C，所以∠EDC=∠C，则DE=，?

又由BD=DE，得BD=EC.

④根据上述的推理可知AB，BD，AC之间的数量关系为.?

(1)请你补全小明的解题思路;

(2)参考小明的方法，解决下面的问题:

如图3，△ABC中，∠A=105°，∠C=30°，BD平分∠ABC，求证:AB+CD=BC.

图3

11.(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，

∠BAD=60°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=30°，连结EF，试判断BE、EF、DF之间的数量关系，并说明理由;

(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，连结EF，探究(1)中的结论是否成立，请说明理由

(3)在(2)的条件下，若点E、F分别在边CB、DC的延长线上，如图3，探究BE、EF、DF之间的数量关系，并说明理由.

图1图2图3

答案全解全析

1.证明连结AD，如图所示:

∵AB=AC，∠BAC=90°，