热点11 椭圆及其应用（8题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（天津专用）（解析版）.docx

热点11椭圆及其应用

三年考情分析

2025考向预测

2022年，第19题，考察椭圆离心率椭圆中三角形面积问题

2023年，第19题，考察椭圆离心率椭圆中三角形面积问题

2024年，第18题，考察椭圆方程，椭圆中韦达定理的综合应用

椭圆是圆锥曲线中的重要内容，是天津高考命题的重要考点。考试中主要考查椭圆方程，离心率，椭圆中三角形面积问题，也涉及到存在性探索问题。

题型1根据椭圆定义求方程

平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，

这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距.

说明：

若，的轨迹为线段；

若，的轨迹无图形

1．（2024·广西来宾·模拟预测）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【知识点】由标准方程确定圆心和半径、利用椭圆定义求方程

【分析】计算两个已知圆的圆心和半径，根据圆的位置关系得到动圆圆心到两已知圆圆心距离和为定值，结合椭圆的定义即可得到结果.

【详解】圆可化为，圆心，半径为.

圆可化为，圆心，半径为.

设动圆圆心为点，半径为，圆与圆外切于点，圆与圆内切于点，如图所示：

由题意得，三点共线，三点共线，，，

∴，

∴点的轨迹为以为焦点的椭圆，且，，

∴，

∴点的轨迹方程为.

故选：C.

2．（22-23高二上·福建福州·期中）已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【知识点】求平面轨迹方程、利用椭圆定义求方程、根据a、b、c求椭圆标准方程

【分析】画图，分析出，确定圆心M的轨迹为椭圆，求出，得到轨迹方程.

【详解】如图，由题意得：，，其中，

所以，

由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，设，

则，解得：，

故动圆圆心M的轨迹方程为.

故选：D

3．（2024·广东江门·二模）已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为.

【答案】

【知识点】椭圆定义及辨析、利用椭圆定义求方程、轨迹问题——椭圆

【分析】根据圆的性质和椭圆定义得到，再利用关系即可.

【详解】设圆的半径为，则，则，

所以点的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆．

则，所以，

所以动圆的圆心的轨迹方程为．

故答案为：.

4．（2023·全国·模拟预测）已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点，则的取值范围是．

【答案】

【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值、由标准方程确定圆心和半径、利用椭圆定义求方程

【分析】根据题意，得到点在以，为焦点，长轴长为4的椭圆上，得到点的轨迹的方程为，化简得到，进而求得的取值范围．

【详解】由圆，可得，半径为，可得，，

所以，

所以点在以，为焦点，长轴长为4的椭圆上，

可得，，则，

所以点的轨迹的方程为，

又由，

因为，所以．

故答案为：.

5．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）如图：已知圆内有一点，Q是圆C上的任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ相交点M，当点Q在圆C上运动时，点M的轨迹方程为

【答案】

【知识点】利用椭圆定义求方程、轨迹问题——椭圆

【分析】利用线段的中垂线性质，即可推导出动点到两定点的距离之和为定值，所以动点轨迹是椭圆，即可出椭圆方程.

【详解】

连接，由线段的垂直平分线与相交点M，可得，

则有，

所以点M的轨迹是以为焦点，以5为长轴长的椭圆，

则，即，

所以点M的轨迹方程为：，即，

故答案为：.

题型2判断参数范围是否表示椭圆

1．（24-25高二上·天津南开·期末）若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（????）

A． B．0,4 C． D．

【答案】A

【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围

【分析】利用标准的椭圆方程即可判断参数范围.

【详解】方程变形得：，

该方程要表示椭圆，则需要满足，解得：，

故选：A.

2．（2024·辽宁·二模）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围

【分析】根据椭圆的标准方程中分母都大于且不能相等即可求解.

【详解】因为方程表示的曲线是椭圆，

所以，解得且，

所以实数k的取值范围是.

故选：D.

3．（24-25高三上·天津河西·期末）已知曲线，则“”是“曲线表示椭圆”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据方程表示椭圆求参数的范围

【分析】由曲线表示椭圆得到，即可得到结果.

【详解】曲线表示椭圆，则，解得，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

4．（24-25高