13.3.2 等腰三角形的判定（难点练）解析版.docx

13.3.2等腰三角形的判定

（难点练）

一、单选题

1．（2020·浙江温岭·八年级期末）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，F是CB延长线上一点，AF⊥CF，垂足为F．下列结论：①∠ACF＝45°；②四边形ABCD的面积等于AC2；③CE＝2AF；④S△BCD＝S△ABF+S△ADE；其中正确的是（）

A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④

【答案】C

【分析】证明≌，得出，正确；由，得出，正确；

证出，，正确；由，不能确定，不正确；即可得出答案．

【详解】解：∵∠CAE＝90°，AE＝AC，

∴∠E＝∠ACE＝45°，

∵∠BAD＝∠CAE＝90°，

∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD

∴∠BAC＝∠EAD，

在△ABC和△ADE中，

，

∴△ABC≌△ADE(SAS)，

∴∠ACF＝∠E＝45°，①正确；

∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD，

∴S四边形ABCD＝S△ADE+S△ACD＝S△ACE＝AC2，②正确；

∵△ABC≌△ADE，

∠ACB＝∠AEC＝45°，

∵∠ACE＝∠AEC＝45°，

∴∠ACB＝∠ACE，

∴AC平分∠ECF，

过点A作AG⊥CG，垂足为点G，如图所示：

∵AC平分∠ECF，AF⊥CB，

∴AF＝AG，

又∵AC＝AE，

∴∠CAG＝∠EAG＝45°，

∴∠CAG＝∠EAG＝∠ACE＝∠AEC＝45°，

∴CG＝AG＝GE，

∴CE＝2AG，

∴CE＝2AF，③正确；

∵S△ABF+S△ADE＝S△ABF+S△ABC＝S△ACF，

不能确定S△ACF＝S△BCD，④不正确；

故选：C．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．

2．（2021·全国八年级专题练习）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点E在BC上，CE＝2，将线段ED绕点E按顺时针方向旋转90°得到EF，连接DF，然后把△DEF沿着DE翻折得到△DEF′，连接AF′，BF′，取AF′的中点G，连接DG，则DG的长为（）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】如图中，作于点，于．根据已知条件得到，，根据三角形的中位线的选择定理得到，得到，根据全等三角形的选择得到，，求得，得到，根据三角形中位线的性质定理即可得到结论．

【详解】解：如图中，作于点，于．

，点为的中点，

，，

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，，

，

，

，

，

点为的中点，取的中点，

，

；

故选：．

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

3．（2020·盐城市盐都区实验初中八年级月考）已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE；④BA+BC=2BF．其中正确的是（）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④

【答案】D

【分析】根据SAS证△ABD≌△EBC，可得∠BCE＝∠BDA，结合∠BCD＝∠BDC可得①②正确；根据角的和差以及三角形外角的性质可得∠DCE＝∠DAE，即AE＝EC，由AD＝EC，即可得③正确；过E作EG⊥BC于G点，证明Rt△BEG≌Rt△BEF和Rt△CEG≌Rt△AEF，得到BG＝BF和AF＝CG，利用线段和差即可得到④正确．

【详解】解：①∵BD为△ABC的角平分线，

∴∠ABD＝∠CBD，

∴在△ABD和△EBC中，，

∴△ABD≌△EBC（SAS），①正确；

②∵BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA，

∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，

∵△ABD≌△EBC，

∴∠BCE＝∠BDA，

∴∠BCE＋∠BCD＝∠BDA＋∠BDC＝180°，②正确；

③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，∠BDA＝∠DAE＋∠BEA，∠BCD＝∠BEA，

∴∠DCE＝∠DAE，

∴△ACE为等腰三角形，

∴AE＝EC，

∵△ABD≌△EBC，

∴AD＝EC，

∴AD＝AE．③正确；

④过E作EG⊥BC于G点，

∵E是∠ABC的角平分线BD上的点，且EF⊥AB，

∴EF＝EG（角平分线上的点到角的两边的距离相等），

∵在Rt△BEG和Rt△BEF中，，

∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），

∴BG＝BF，

∵在Rt△CEG和Rt△AFE中，，

∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），

∴AF＝CG，

∴BA＋BC＝BF＋FA＋BG?CG＝BF＋BG＝2BF，④正确．

故选D．

【点睛】本题考查了全等三角形