题型专攻：等边三角形【八大题型】（原卷版）.docx

等边三角形【八大题型】

【题型1与等边三角形有关的角度的计算】

【例1】（2022秋?泰兴市期末）（1）如图1，∠AOB和∠COD都是直角

①若∠BOC＝60°，则∠BOD＝°，∠AOC＝°；

②改变∠BOC的大小，则∠BOD与∠AOC相等吗？为什么？

（2）如图2，∠AOB＝∠COD＝80°，若∠AOD＝∠BOC+40°，求∠AOC的度数；

（3）如图3，将三个相同的等边三角形（三个内角都是60°）的一个顶点重合放置，若∠BAE＝10°，∠HAF＝30°，则∠1＝°．

【变式1-1】（2022秋?巫溪县校级月考）已知：如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上的点，BE、CE分别平分∠ABC和∠ACD，求∠BEC的度数．

【变式1-2】（2022秋?太原期末）问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．

（1）特例探究：

如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝；

如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝；这两个图中，∠D与∠A度数的比是；

（2）猜想证明：

如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．

【变式1-3】（2022秋?龙港区期末）已知△ABC，△EFG是边长相等的等边三角形，点D是边BC，EF的中点．

（1）如图①，连接AD，GD，则∠ADC的大小＝（度）；∠GDF的大小＝（度）；

AD与GD的数量关系是；DC与DF的数量关系是；

（2）如图②，直线AG，FC相交于点M，求∠AMF的大小．

【题型2共顶点的等边三角形（手拉手图形）】

【例2】（2022秋?华容县期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：

①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有．（注：把你认为正确的答案序号都写上）

【变式2-1】（2022秋?西青区期末）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点E在△ABC内部，连接AE，BE，BD．若∠EBD＝50°，则∠AEB的度数是．

【变式2-2】（2022秋?兴化市校级月考）如图1，等边△ABC中，D是AB边上的点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．

（1）求证：△DBC≌△EAC；

（2）求证：AE∥BC；

（3）如图2，若D在边BA的延长线上，且AB＝6，AD＝2，试求△ABC与△EAC面积的比值．

【变式2-3】（2022秋?赫山区期末）如图，△ABC和△CDE都为等边三角形，E在BC上，AE的延长线交BD于F．

（1）求证：AE＝BD；

（2）求∠AFB的度数；

（3）求证：CF平分∠AFD；

（4）直接写出EF，DF，CF之间的数量关系．

【题型3平面直角坐标系中的等边三角形】

【例3】（2022春?禅城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（2，0），以线段OC为边在第一象限内作等边△OBC，点D为x轴正半轴上一动点（OD＞2），连结BD，以线段BD为边在第一象限内作等边△BDE，直线CE与y轴交于点A，则点A的坐标为（）

A．(0，-3) B．(0，-23) C．（

【变式3-1】（2022春?龙口市期末）如图，在直角坐标系xOy中，直线MN分别与x轴，y轴交于点M，N，且OM＝4，∠OMN＝30°，等边△AOB的顶点A，B分别在线段MN，OM上，点A的坐标为（）

A．（1，3） B．（1，5） C．（3，1） D．（32，3

【变式3-2】（2022秋?新洲区期末）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，AO＝a，AB＝b，BO与x轴正方向的夹角为150°，且a2﹣b2+a﹣b＝0．

（1）试判定△ABO的形状；

（2）如图1，若BC⊥BO，BC＝BO，点D为CO的中点，AC、BD交于E，求证：AE＝BE+CE；

（3）如图2，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延长GA交x轴于点P，问：AP与AO之间有何数量关系？试证明你的结论．

【变式3-3】（2022秋?汉阳区校级期中）如图，平面直角坐标系中，已知A（﹣2，0），B（2，0），C（6，0），D为y轴正半轴上一点，且∠ODB＝30°，延长DB至E，使BE＝BD．P为x轴正半轴上一动点（P在C点右边），M在EP上，且∠EMA＝60°，AM