高一数学函数解析式的七种求法.docVIP

函数解析式的七种求法

待定系数法：在函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1设是一次函数，且，求

解：设，那么

配凑法：复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。

例2，求的解析式

解：，

三、换元法：复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3，求

解：令，那么，

四、代入法：求函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例4：函数的图象关于点对称，求的解析式

解：设为上任一点，且为关于点的对称点

那么，解得：，

点在上

把代入得：

整理得

五、构造方程组法：假设的函数关系较为抽象简约，那么可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例5设求

解=1\*GB3①

显然将换成，得：

=2\*GB3②

解=1\*GB3①=2\*GB3②联立的方程组，得：

例6设为偶函数，为奇函数，又试求的解析式

解为偶函数，为奇函数，

又=1\*GB3①，

用替换得：

即=2\*GB3②

解=1\*GB3①=2\*GB3②联立的方程组，得

，

利用判别式求值域时应注意的问题

用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多学生对用判别式求值域掌握不好。一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法，哪些函数不能也比拟模糊。本人结合自己的教学实践谈谈对本内容的一点体会。

一、判别式法求值域的理论依据

求函数的值域

象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。

解：由得：

〔y-1〕x2+(1-y)x+y=0①

上式中显然y≠1,故①式是关于x的一元二次方程

用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法，但在用判别式法求值域时经常出错，因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题：

一、要注意判别式存在的前提条件，同时对区间端点是否符合要求要进行检验

例：求函数的值域。

错解：原式变形为〔＊〕

∵，∴，解得。

故所求函数的值域是

错因：把代入方程〔＊〕显然无解，因此不在函数的值域内。事实上，时，方程〔＊〕的二次项系数为0，显然不能用“”来判定其根的存在情况。

正解：原式变形为〔＊〕

〔1〕当时，方程〔＊〕无解；

〔2〕当时，∵，∴，解得。

综合〔1〕、〔2〕知此函数的值域为

二、注意函数式变形中自变量的取值范围的变化

例2：求函数的值域。

错解：将函数式化为

〔1〕当时，代入上式得，∴，故属于值域；

〔2〕当时，，

综合〔1〕、〔2〕可得函数的值域为。

错因：解中函数式化为方程时产生了增根〔与虽不在定义域内，但是方程的根〕，因此最后应该去掉与时方程中相应的值。所以正确答案为，且。

三、注意变形后函数值域的变化

例3：求函数的值域。

错解：由得①，两边平方得②

整理得，由，解得。

故函数得值域为。

错因：从①式变形为②式是不可逆的，扩大了的取值范围。由函数得定义域为易知，因此函数得最小值不可能为。∵时，，∴，故函数的值域应为。

四、注意变量代换中新、旧变量取值范围的一致性

例4：求函数的值域。

错解：令，那么，∴，由及得值域为。

错因：解法中无视了新变元满足条件。∴设，，，

。故函数得值域为。

综上所述，在用判别式法求函数得值域时，由于变形过程中易出现不可逆得步骤，从而改变了函数得定义域或值域。因此，用判别式求函数值域时，变形过程必须等价，必须考虑原函数得定义域，判别式存在的前提，并注意检验区间端点是否符合要求。