13.2.4 角边角（难点练）解析版 (1).docx

13.2.4角边角

（难点练）

一、单选题

1．（2021·天津育贤中学八年级期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，把一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B．梦想飞扬学习小组将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，给出下列结论：①线段AE与AF的长度之和为定值；②∠BEO与∠OFC的度数之和为定值；③四边形AEOF的面积为定值．其中正确的是（）

A．仅①正确 B．仅①②正确 C．仅②③正确 D．①②③都正确

【答案】D

【分析】连接，易证，利用全等三角形的性质可得出，进而可得出，结论①正确；由三角形内角和定理结合，可得出，结论②正确；由可得出，结合图形可得出，结论③正确．

【详解】解：连接，如图所示，

为等腰直角三角形，点为的中点，

，，．

，，

．

在和中，

，

，

，

，

则结论①正确；

，，，

，

则结论②正确；

，

，

，

则结论③正确．

故选：．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形以及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

2．（2020·瑞安市安阳实验中学）如图，在中，，分别以，，为边，在的同侧作正方形，，．若图中两块阴影部分的面积分别记为，，则对，的大小判断正确的是（）

A． B． C． D．无法确定

【答案】B

【分析】连接EH，过点H作HK⊥BF于点K，令AE与BH交于点J，HL与BF交于点L，根据已知条件易证△BHK≌△ABC，继而由全等三角形的性质得S△BHK＝S△ABC，BC＝HK，∠ABC＝∠BHK，再由全等三角形的判定可得△BCJ≌△HKL，进而可得S1＝S△BHK＝S△ABC，由正方形的性质和全等三角形的判定可知△ABC≌△AIG，继而可得S△ABC＝S△AIG＝S2，等量代换即可求解．

【详解】解：连接EH，过点H作HK⊥BF于点K，令AE与BH交于点J，HL与BF交于点L，

由题意可知：四边形BCED是正方形，四边形ACFG是正方形，四边形ABHI是正方形，∠ACB＝90°

∴∠CEH＝∠ECK＝90°,CE＝BC

∵∠BKH＝90°,

∴四边形CEHK是矩形，

∴CE＝HK

又∠HBK＋∠ABC＝90°,∠BAC＋∠ABC＝90°

∴∠HBK＝∠BAC

∴△BHK≌△ABC（AAS）

∴S△BHK＝S△ABC，BC＝HK，∠ABC＝∠BHK，

∵∠ABC＋∠CBJ＝90°，∠BHK＋∠KHL＝90°

∴∠CBJ＝∠KHL

∴△BCJ≌△HKL（ASA）

∴S△BCJ＝S△HKL，

∴S1＝S△BHK＝S△ABC，

∵四边形ACFG是正方形，四边形ABHI是正方形，

∴AB＝AI，AC＝AG，∠G＝∠ACB＝90°

∴△ABC≌△AIG（SAS）

∴S△ABC＝S△AIG＝S2，

即S1＝S2

故选：B

【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定方法．

3．（2019·广西）如图，在△ABC中，AB=BC，，点D是BC的中点，BF⊥AD，垂足为E，BF交AC于点F，连接DF.下列结论正确的是（）

A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠3=∠4 D．∠4=∠5

【答案】A

【分析】如图，过点C作BC的垂线，交BF的延长线于点G，则，先根据直角三角形两锐角互余可得，再根据三角形全等的判定定理与性质推出，又根据三角形全等的判定定理与性质推出，由此即可得出答案．

【详解】如图，过点C作BC的垂线，交BF的延长线于点G，则，即

在和中，

点D是BC的中点

在和中，

故选：A．

【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了直角三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造两个全等的三角形是解题关键．

4．（2018·全国八年级课时练习）已知等边三角形ABC的边长为12，点P为AC上一点，点D在CB的延长线上，且BD=AP，连接PD交AB于点E，PE⊥AB于点F，则线段EF的长为（）

A．6 B．5

C．4.5 D．与AP的长度有关

【答案】A

【分析】作DQ⊥AB，交直线AB的延长线于点Q，连接DE，PQ，根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BDQ，再由AE=BQ，PE=QD且PE∥QD，可知四边形PEDQ是平行四边形，进而可得出EF=AB，由等边△ABC的边长为12可得出DE=6．

【详解】解；如图，作DQ⊥AB，交AB的延长线于点F，连接DE，PQ，

又∵PE⊥AB于E，

∴∠BQD=∠AEP=90°，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠ABC=∠DBQ=60°，

在△APE和△BDQ中，

，

∴△APE≌△BDQ（AAS），