仿射变换原理解析.ppt

几种特殊的仿射变换3添加标题注：对于正交变换?的矩阵A,显然有A?1=AT,且|A|=?1.5添加标题称为?的矩阵,满足AAT=ATA=E,为二阶正交矩阵.1添加标题定理对于平面上的一个取定的直角坐标系,点变换?是正交变换??具有表达式2添加标题其中(x,y)与(x,y)为?的任一对对应点P,P的坐标,矩阵4添加标题当|A|=1时,?将右手系变为右手系,称?为第一类正交变换；当|A|=?1时,?将右手系变为左手系,称?为第二类正交变换.(1).平移变换定义将平面上的每个点都向着同一个方向移动相同的距离的变换称为平面上的一个平移变换,简称平移.定理设在平面上取定了一个笛氏直角坐标系O-exey,并给定一个向量c(c1,c2).则由此可惟一确定平面上的一个平移?,其直角坐标表示为其中(x,y)与(x,y)为平面上任一点P与其在?下的像点P的坐标.注：显然,平移是正交变换.正交变换特例几种特殊的仿射变换定义将平面上的每个点都绕着同一个点旋转相同的角度的变换称为平面上的一个旋转变换,简称旋转.(2).旋转变换定理设旋转?使得平面上的每个点都绕着坐标原点O旋转角度?,则?的直角坐标表示为证明设|OP|=|OP|=r,OP与x轴正向夹角为?.则利用三角恒等式展开,可得几种特殊的仿射变换几种特殊的仿射变换注：显然,旋转变换是正交变换.定理平面上的一个平移与一个旋转的乘积是一个第一类正交变换.进而,平面上有限多个平移与旋转的乘积是一个第一类正交变换.第一类正交变换称为平面上的刚体运动.1添加标题轴反射变换2添加标题怎样的变换可以使得?ABC重合于?ABC?仅平移和旋转是不可能的.3添加标题几种特殊的仿射变换4添加标题定义设l为平面上取定的一条直线.将平面上的每个点都变为关于l的对称点的变换称为平面上的一个轴反射变换,简称轴反射,直线l称为反射轴.仿射变换1.透视仿射对应定义对于空间中两平面?,?,给定一个与两平面不平行的投射方向,则确定了?到?的一个透视仿射对应(平行投影).?上任一点P在?上的像即为过P且平行于投射方向的直线与?的交点P.注1.透视仿射对应的基本性质(1)使共线点变为共线点的双射,且对应点连线相互平行；(2)平行直线变为平行直线；(3)保持共线三点的简单比,从而保持两平行线段的比值不变.注2.?,?的交线称为透视仿射的轴.若?//?则没有轴.仿射变换2.仿射变换仿射变换定义对于空间中一组平面?,?1,?2,…,?n,?,设以下对应均为透视仿射对应：则称这n个透视仿射的积?为?到?的一个仿射对应.若???,则称?为平面?上的一个仿射变换.注.仿射变换的基本性质使共线点变为共线点的双射；平行直线变为平行直线；保持共线三点的简单比,从而保持两平行线段的比值不变.定义设?为平面?上的一个点变换,满足(1)?为一个使共线点变为共线点的双射；(2)?使得共线三点的简单比等于其对应共线三点的简单比；(3)?使得相互平行的直线变为相互平行的直线,则称?为?上的一个仿射变换.定理仿射变换是双射.设A表示平面上全体仿射变换的集合.则有(1)??,??A,有???A.(2)恒同变换i?A.(3)???S,存在??1?A,满足???1???1??i.上述性质使得A对于变换的乘法构成一个群,叫做仿射变换群.而且M?S?A.仿射变换3.仿射坐标系定义设在平面上取定一点O和以O为起点的两个线性无关向量ex,ey,则由此构成平面上一个仿射坐标系(或仿射坐标架),记作O-exey.平面上任一点P的仿射坐标(x,y)由下式唯一确定,反之,对任意给定的有序实数偶(x,y),由(1.12)式可唯一确定仿射平面上的一个点具有坐标(x,y).建立了仿射坐标系的平面称为仿射平面,ex,ey称为基向量.注若ex,ey为单位正交向量,则O-exey成为笛卡儿直角坐标系.仿射变换仿射变换3添加标题满足|A|?0,称为仿射变换?的矩阵.5添加标题定理平面?上的仿射变换?将一个仿射坐标系O-exey变为另一个仿射坐标系O-e