极限的概念与性质.ppt

推论2.若在的某去心邻域内,且则思考:若定理2中的条件改为是否必有不能!如(反证法,证明略)第30页,共37页，星期六，2024年，5月4.函数极限的两边夹定理定理3.且(仿照数列极限的两边夹定理证明)第31页,共37页，星期六，2024年，5月5.函数极限与数列极限的关系定理4.有定义,有说明:此定理常用于判断函数极限不存在.法1找一个数列不存在.法2找两个趋于的不同数列及使第32页,共37页，星期六，2024年，5月例6.证明不存在.证:取两个趋于0的数列及有由定理4知不存在.第33页,共37页，星期六，2024年，5月思考与练习1.若极限存在,2.设函数且存在,则是否一定有第四节？第34页,共37页，星期六，2024年，5月内容小结1.函数极限的或定义及应用2.函数极限的性质.第四节第35页,共37页，星期六，2024年，5月作业习题一15(1)，(4),23(3)补三第36页,共37页，星期六，2024年，5月补充.证明证:取因此就有故欲使只要又故只要即第37页,共37页，星期六，2024年，5月*函数是微积分学研究的主要对象*魏晋三国数学家刘徽于公元263年撰写《九章算术注》*等比，等差数列*利用不等式放缩*先板书后面的不等式*注意x=1无定义*正负无穷与数列不同目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束极限的概念与性质自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化趋势才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生的客观基础。引言第2页,共37页，星期六，2024年，5月正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正3072边形得到圆周率的近似值为3.1416割圆术割圆术就是极限思想在几何上的应用第3页,共37页，星期六，2024年，5月微积分是一门以变量为研究对象、应用极限方法研究各类变化率问题应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到以极限方法作为研究工具的数学学科：曲线的切线问题，微小量无穷积累的问题，和几何学中就产生了微分学；就产生了积分学。第4页,共37页，星期六，2024年，5月一、数列极限的定义按照一定规律排列的一列数数列可视为定义在自然数集上的函数：称为一个数列。称为数列通项，数列简记为。第5页,共37页，星期六，2024年，5月趋向于某个确定的数xyO...........不趋向于某个确定的数第6页,共37页，星期六，2024年，5月定义：设数列极限存在的数列称为收敛数列。极限不存在的数列称为发散数列。如果通项记作当项数无限增大时，则称的极限。为数列或无限趋近于某个常数第7页,共37页，星期六，2024年，5月例如,趋势不定收敛发散第8页,共37页，星期六，2024年，5月若数列及常数a有下列关系:当nN时,总有记作即或则称该数列的极限为a,几何解释:只有有限项(至多N项)在邻域之外。数学定义：ε英文注音epsilon中文注音伊普西龙第9页,共37页，星期六，2024年，5月例1.已知证明数列的极限为1.证明:欲使即只要因此,取则当时,就有故第10页,共37页，星期六，2024年，5月例2.已知证明证:欲使只要即取则当时,就有故故也可取也可由1.N与?有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:取2.利用不等式的放缩.第11页,共37页，星期六，2024年，5月例3.设证明等比数列证:欲使只要即亦即因此,取,则当nN时,就有故的极限为0.第12页,共37页，星期六，2024年，5月例4.证明：记易知当时，取则当时，有由于故时，当正整数于是正整数第13页,共37页，星期六，2024年，5月所以第14页,共37页，星期六，2024年，5月刘徽(约