【数学】两条直线垂直教案 2024-2025学年人教版数学七年级下册.docxVIP

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教学设计

课程基本信息

学科

数学

年级

七年级

学期

春季

课题

7.1.2两条直线垂直

编写教师

工作单位

指导专家

工作单位

教学目标

1．理解垂直、垂线、垂线段、点到直线的距离的概念，掌握互相垂直的两条直线的性质，培养抽象能力和几何直观．

2．会过一点画已知直线的垂线，会度量点到直线的距离，能根据“垂线段最短”解决简单的问题．

3．在探索垂线的性质的过程中，体会数学来源于实际，培养应用意识．

教学内容

教学重点

垂直的概念与性质．

教学难点

对基本事实“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的理解；应用“垂线段最短”解决简单的问题．

教学过程

教学环节

主要师生活动

新课导入

上节课我们讲了两条直线相交的一般情形，借助直线相交所成的角来研究相交线．这节课我们学习两条直线相交的特殊情形——垂直．

新知探究

问题1：在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b．当b的位置变化时，a，b所成的∠α也会发生变化．在这个变化过程中，有没有什么特殊情形？

师生活动：教师展示相交线的模型，学生操作转动木条，观察夹角的变化，教师引导学生发现其中的特殊情形——当∠α是直角时，每个角都是直角，四个角都相等．

追问：为什么当∠α是直角时，另外三个角也是直角？

师生活动：学生回答，教师明确：根据上节课学习的两条直线相交所成的角的关系，由∠α＝90°推导得到另外三个角也是90°．

由此抽象垂直的概念：

一般地，当两条直线a，b相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说a与b互相垂直，记作“a⊥b”．

两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足．

如下图，AB⊥CD，垂足为O．

这一概念意味着，如果直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝90°，那么AB⊥CD．这个推理过程用符号语言表达为：

因为∠AOD＝90°，

所以AB⊥CD．

反过来，如果AB⊥CD，那么∠AOD＝90°．这个推理过程用符号语言表达为：

因为AB⊥CD，

所以∠AOD＝90°．

设计意图：以两条直线相交的特殊情形（形成的四个角相等）引入垂直的定义，并明确文字、图形、符号语言表达．

问题2：用三角尺或量角器经过一点画已知直线l的垂线，这个点和这条直线有几种位置关系？

师生活动：师生共同回顾点与直线的两种位置关系：点在直线上，点在直线外．

追问1：经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？

师生活动：学生按要求画垂线，教师指导．

追问2：经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？

师生活动：学生按要求画垂线，教师指导．

追问3：根据以上画垂线的过程，你有什么发现？

师生活动：学生发现，经过一点（在已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线．

由此得到关于垂线的基本事实：

在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

设计意图：通过实践操作，探究互相垂直的两条直线的性质，发现基本事实，并概括出来．

问题3：如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？

师生活动：教师引导学生将实际问题转化为数学问题．把河流抽象成一条直线l，点P是直线l外一点．从这一实际问题中抽象出数学问题：在直线l上找一点Q，使线段PQ长度最短．

教师演示：在直线l上从左至右拖动点Q，改变点Q的位置．

追问1：观察线段PQ的长度，它是怎么变化的？

师生活动：学生发现，点Q在直线l上从左至右移动时，线段PQ的长度先变短，后变长．那么一定存在某个位置，使线段PQ长度最短．

教师演示：过点P画PO⊥l，垂足为O，我们称线段PO为点P到直线l的垂线段．A是直线l上除点O外一点，连接PA．

追问2：在直线l上拖动点A，改变点A的位置，测量并比较线段PO与PA的长度．你能得到什么结论？

师生活动：学生思考，发现：线段PO的长度小于线段PA的长度，也就是当点Q位于垂足O处时，线段PQ的长度最短．

学生在教师引导下，归纳得出互相垂直的两条直线的另一个性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．

简单说成：垂线段最短．

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离．

追问3：现在你知道如何挖渠能使渠道最短了吗？

师生活动：学生回答：从农田P处挖一条垂直于河道的水渠即可．

设计意图：从生活实例出发，引导学生操作探究发现“垂线段最短”．

例题精讲

例如图，过点P画出射线AB或线段AB的垂线．

（1）

（2）

（3）

师生活动：教师指出：画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线．师生共同分析并完成例题．

解：如图所示：

（1）

（2）

（3）

追问：（3）中线段不够长，怎么办？

师生活动：学生回答：先延长线段AB，再画垂线．

设计意图：落实基本技能“过一点画已知直