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我们可以得到结论：如果给定条件(a)和(b)，那么库恩-塔克条件就是极大值（极小值）的充分条件。当满足约束规范时，库恩-塔克条件就是极大值（极小值）的必要条件。如果满足约束规范，且实现条件(a)和(b)，那么库恩-塔克条件就是极大值（极小值）的充分必要条件。第29页,共47页，星期六，2024年，5月库恩-塔克充分性定理的证明因为为凹函数，每个为凸函数，而每个为凹函数，因此为凹函数。凹函数存在以下性质：对于极大化问题，拉格朗日函数表示为：第30页,共47页，星期六，2024年，5月库恩-塔克充分性定理的证明（续）把表达式分为两项。和对于，可以选择和满足库恩-塔克条件，从而：，对于来说，第31页,共47页，星期六，2024年，5月所以表示为：库恩-塔克充分性定理的证明（续）因为根据库恩-塔克条件，得：又因为所以得到，即点是极大值。第32页,共47页，星期六，2024年，5月二、阿罗-恩索文充分性定理：拟凹规划(b)在非负正交规划体中每个约束函数可微且为拟凸函数；(c)点满足库恩-塔克极大化条件。那么，为的整体极大值点。(d)满足下列诸条件中任意一个：给定非线性规划：(a)在非负正交规划体中可微且为拟凹函数；(d-i)至少对某个变量有。(d-ii)对某个可取正值而不违背约束的变量有。(d-iii)n个导数不全为零，函数在的邻域内二阶可微。第33页,共47页，星期六，2024年，5月二、阿罗-恩索文充分性定理：拟凹规划(b)在非负正交规划体中每个约束函数可微且为拟凹函数；(c)点满足库恩-塔克极小化条件。那么，为的整体极小值点。(d)满足下列诸条件中任意一个：给定非线性规划：(a)在非负正交规划体中可微且为拟凸函数；(d-i)至少对某个变量有。(d-ii)对某个可取正值而不违背约束的变量有。(d-iii)n个导数不全为零，函数在的邻域内二阶可微。第34页,共47页，星期六，2024年，5月我们可以得到结论：如果给定条件(a)、(b)和(d)，那么库恩-塔克条件就是极大值（极小值）的充分条件。当满足约束规范时，库恩-塔克条件就是极大值（极小值）的必要条件。如果满足约束规范，且实现条件(a)、(b)和(d)，那么库恩-塔克条件就是极大值（极小值）的充分必要条件。第35页,共47页，星期六，2024年，5月本章小结第36页,共47页，星期六，2024年，5月一、库恩-塔克条件（n个变量m个约束）拉格朗日函数以下列更为一般的形式出现：库恩-塔克条件的极大化形式：库恩-塔克条件的极小化形式：第37页,共47页，星期六，2024年，5月(a)目标函数在非负正交分划体中可微，且为凹函数；(b)每个约束函数在非负正交分划体中可微，且为凸函数；(c)点满足库恩-塔克极大化条件。那么，为的整体极大值点。给定非线性规划：二、库恩-塔克充分性定理：凹规划（极大值）第38页,共47页，星期六，2024年，5月(a)目标函数在非负正交分划体中可微，且为凸函数；(b)每个约束函数在非负正交分划体中可微，且为凹函数；(c)点满足库恩-塔克极小化条件。那么，为的整体极小值点。给定非线性规划：二、库恩-塔克充分性定理：凹规划（极小值）第39页,共47页，星期六，2024年，5月如果给定条件(a)和(b)，那么库恩-塔克条件就是极大值（极小值）的充分条件。当满足约束规范时，库恩-塔克