13.5 逆命题与逆定理（难点练）解析版 (1).docxVIP

13.5逆命题与逆定理

（难点练）

一、单选题

1．（2021·湖北武汉·）如图，点是线段上任意一点（点与点，不重合），分别以、为边在直线的同侧作等边三角形和等边三角形，与相交于点、与相交于点，与相交于点，连，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论有（）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】A

【分析】利用等边三角形的性质，证明从而可判断①，由可得再利用三角形的内角和定理可判断②，如图，过作交于过作交于利用全等三角形的对于高相等证明从而可判断③，如图，在上截取连接证明为等边三角形，再证明可得从而可判断④．

【详解】解：为等边三角形，

即

故①符合题意；

故②符合题意；

如图，过作交于过作交于

为对应边，

平分故③符合题意；

如图，在上截取连接

为等边三角形，

故④符合题意；

综上：①②③④都符合题意，

故选：

【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定，掌握以上知识是解题的关键．

2．（2021·四川省营山县第二中学八年级月考）如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；?②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正确的结论有（）个

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】①正确．利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可解决问题．②正确．证明△ABP≌△FBP，推出PA=PF，再证明△APH≌△FPD，推出PH=PD即可解决问题．③错误．利用反证法，假设成立，推出矛盾即可．④错误，可以证明S四边形ABDE=2S△ABP．⑤正确．由DH∥PE，利用等高模型解决问题即可．

【详解】解：在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，

∵∠ACB=90°，

∴∠A+∠B=90°，

又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，

∴∠BAD+∠ABE=（∠A+∠B）=45°，

∴∠APB=135°，故①正确．

∴∠BPD=45°，

又∵PF⊥AD，

∴∠FPB=90°+45°=135°，

∴∠APB=∠FPB，

又∵∠ABP=∠FBP，

BP=BP，

∴△ABP≌△FBP（ASA），

∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，

在△APH和△FPD中，

，

∴△APH≌△FPD（ASA），

∴PH=PD，

∴AD=AP+PD=PF+PH．故②正确．

∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，

∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，

∵∠HPD=90°，

∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD，

∴HD∥EP，

∴S△EPH=S△EPD，

∴S△APH=S△AED，故⑤正确，

∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD

=S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD

=S△ABP+S△APH+S△PBD

=S△ABP+S△FPD+S△PBD

=S△ABP+S△FBP

=2S△ABP，故④不正确．

若DH平分∠CDE，则∠CDH=∠EDH，

∵DH∥BE，

∴∠CDH=∠CBE=∠ABE，

∴∠CDE=∠ABC，

∴DE∥AB，这个显然与条件矛盾，故③错误，

故选B．

【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

3．（2021·全国八年级专题练习）如图，中，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于F，现有下列结论：①；②；③平分;④，其中正确的有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知，故此可知，，从而可证明②正确；③若平分，则，从而得到为等边三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接、，然后证明，从而得到，从而可证明④．

【详解】解：如图所示：连接、．

①平分，，，

．

①正确．

②，平分，

．

，

．

，，

．

同理：．

．

②正确．

③由题意可知：．

假设平分，则，

又，

．

．

是否等于不知道，

不能判定平分，

故③错误．

④是的垂直平分线，

．

在和中

，

．

．

又，，

．

故④正确．

故选：C．

【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．

4．（2021·全国八年级专题练习）如图在中，和的平分线