热点05 利用导数研究切线与单调性问题（9题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（天津专用）（原卷版）.docx

热点05利用导数研究切线与单调性问题

三年考情分析

2025考向预测

切线：

2022年，第20题（1），考察求“在”型切线

2023年，第20题（1），考察求“在”型切线

2024年，第20题（1），考察求“在”型切线

导数的切线问题，单调性问题一直是天津高考数学的中重点内容，从近几年的高考情况来看，高考依旧会涉及导数的运算及几何意义，以选择填空题或出现在解答题第一问的形式考察导数的意义、求曲线的切线方程，导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档。

题型1“在”型切线

已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.

步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.

第二步：计算切线斜率.

第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。

根据直线的点斜式方程得到切线方程：.

1．（2022·河南焦作·二模）函数的图象在处的切线方程为（???）

A． B．

C． D．

2．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数，则曲线在处的切线方程为（????）

A． B． C． D．

3．（23-24高三上·天津滨海新·期中）函数的导数为，曲线在处的切线方程为．

4．（22-23高三上·天津滨海新·期中）已知函数，则曲线在处的切线方程是

5．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为.

题型2“过”型切线

已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.

步骤：第一步：设切点

第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；

第三步：令：，解出，代入求斜率

第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.

1．（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点可作曲线的切线条数为（????）

A．1 B．2 C．3 D．0

2．（2024·天津和平·二模）过点作曲线的切线，则切点的坐标为．

3．（2024·贵州·模拟预测）过点作曲线的切线，请写出切线的方程.

4．（2024·江西鹰潭·三模）已知函数.

(1)求曲线过点的切线方程；

题型3公切线问题

已知和存在（）条公切线问题

第一步：求公切线的斜率，设的切点，设的切点；

第二步：求公切线的斜率与；

第三步：写出并整理切线

（1）整理得：

（2）整理得：

第四步：联立已知条件

消去得到关于的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；

消去得到关于的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；

1．（24-25高三上·江苏·阶段练习）若曲线与曲线存在公切线，则a的最大值．

2．（2024·山东潍坊·模拟预测）已知（e为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程.

3．（24-25高三上·广东深圳·期末）若曲线与曲线在点处有相同的切线，则．

4．（2024·山东威海·一模）已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)令.若曲线与存在公切线，求实数的取值范围.

5．（24-25高三上·山东烟台·期中）已知函数，，.

(1)证明：当时，曲线与有且只有两条公切线；

题型4切线条数问题

已知，过点，可作曲线的（）条切线问题

第一步：设切点

第二步：计算切线斜率；

第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.

第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程；

第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解；

1．（23-24高二下·山东日照·期中）已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值可能为（???）

A． B． C． D．

2．（24-25高三上·山东日照·阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（???）

A． B． C． D．

3．（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线与恰有两条公切线，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

4．（2024·安徽·模拟预测）若直线上一点可以作曲线的两条切线，则点纵坐标的取值范围为．

题型5与切线有关的距离最小值问题

平移直线与曲线相切；

利用两条平行线间距离最短求解

1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点是曲线上的一动点，则点到直线的距离的最小值为（????）

A． B． C． D．

2．（2023·四川成都·二模）已知P是曲线（）上的动点，点Q在直线上运动，则当取最小值时，点P的横坐标为（???）

A． B． C． D．

3．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知，，则的最小值为．

4．（22-23高二下·浙江金华·阶段练习）已知，则的最小值为.

题型6已知函数在区间上单调

①已知在区间