2025届广东省大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）数学试题.docx

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2025届广东省大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（????）

A． B．

C． D．

2．复数满足，其中为虚数单位，则（????）

A．2 B． C．1 D．

3．已知平面向量的夹角为，且，，则（????）

A．1 B．2 C． D．4

4．若为两条不同的直线，为两个不同的平面，则（????）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，，则

D．若，，则

5．下列四组数据中，方差最小的为（????）

A． B．

C． D．

6．早在两千年前，古人就通过观测发现地面是球面，并会运用巧妙的方法对地球半径进行估算.如图所示，把太阳光视为平行光线，O为地球球心，A，B为北半球上同一经度的两点，且A，B之间的经线长度为L，于同一时刻在A，B两点分别竖立一根长杆和，通过测量得到两根长杆与太阳光的夹角和（和的单位为弧度），由此可计算地球的半径为（????）

A． B． C． D．

7．设函数，则不等式的解集为（????）

A． B．

C． D．

8．已知抛物线的弦的中点横坐标为5，则的最大值为（????）

A．12 B．11 C．10 D．9

二、多选题

9．已知直线和圆，则（????）

A．直线l恒过定点（2，0）

B．存在k使得直线l与直线垂直

C．直线l与圆O相交

D．若，直线l被圆O截得的弦长为

10．已知函数，则（????）

A．是奇函数

B．的最小正周期为

C．在上单调递增

D．的最小值为

11．设曲线，抛物线，记抛物线的焦点为，，为分别为曲线，上的动点，为曲线的切线，则（????）

A．若与无公共点，则

B．若过点，则被截得的弦长为

C．当时，

D．当时，

三、填空题

12．双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线右支上，若，则.

13．在中，已知，，则.

14．有三个袋子，每个袋子都装有个球，球上分别标有数字.现从每个袋子里任摸一个球，用分别表示从第一，第二，第三个袋子中摸出的球上所标记的数，则事件“”的概率为.

四、解答题

15．已知等差数列满足，是关于的方程的两个根.

(1)求；

(2)求数列的前项和.

16．在中，角的对边分别为，为边上的中线.

(1)证明：；

(2)若，，求的最大值.

17．如图，在四棱锥中，平面，，，.

(1)证明：；

(2)若四棱锥的外接球的表面积为，求二面角的余弦值.

18．数列是特殊的函数，可以利用函数工具研究数列性质.比如，为了研究数列的性质，对通项公式取对数得，，则可通过研究函数的性质，得到数列的性质，进而得到的性质.请根据以上材料，解决如下问题：

(1)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围，并证明：；

(2)是否存在常数，使得：有，？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

（注：e为自然对数的底数）

19．线段的长为3，端点分别在轴和轴上运动，点满足，记点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程；

(2)曲线与轴的左右两个交点分别为为上异于的动点.过点分别作直线，直线，其中与曲线交于两点，交直线于点，点满足.

①求点的轨迹方程；

②的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.

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《2025届广东省大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

D

B

C

C

A

B

A

BCD

AD

题号

11

答案

AD

1．D

【分析】解对数不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得.

【详解】由，即，解得，

所以，

又，

所以.

故选：D

2．D

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再计算其模即可.

【详解】因为，所以，

所以.

故选：D

3．B

【分析】根据向量模长的关系，利用平方法转化为向量数量积公式，解一元二次方程即可得出答案.

【详解】由，

所以，即，

即，整理得，

解得或（舍去），

所以.

故选：B.

4．C

【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.

【详解】根据线面平行的性质定理，

若，，则或与异面，A错误；

平行与同一平面的两条直线位置关系不确定，可能平行、相交或异面，B错误；

如图，，过点作的平行线，设所在平面为，