热点07 正弦定理与余弦定理（8题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（天津专用）（解析版）.docx

热点07正弦定理与余弦定理

三年考情分析

2025考向预测

2022年，第16题，考察解三角形和三角函数

2023年，第16题，考察解三角形和三角函数

2024年，第16题，考察解三角形和三角函数

解三角形”是每年天津高考常考内容，出现在解答题中。对于解答题，一是考查正弦定理、余弦定理的简单应用；二是考查两个定理的综合应用，常与两角和差公式，二倍角公式综合在一起考察。

题型1利用正（余）弦定理解三角形

1、在中，若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则

①

②；；；

③

④

⑤，，（可实现边到角的转化）

⑥，，（可实现角到边的转化）

2、余弦定理

2.1余弦定理的描述

①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.

②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则：

；

2.2余弦定理的推论

；

；

1．（2024·天津北辰·三模）在中，，为外心，且，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【知识点】余弦定理解三角形、平面向量数量积的几何意义、基本不等式求和的最小值、求投影向量

【分析】

根据三角形外心性质及数量积的几何意义，可得在方向上的投影向量为，从而求得，再根据余弦定理及基本不等式可求得最值．

【详解】

由O为△ABC外心，可得在方向上的投影向量为，

则，故，

又，设，

则

，

当且仅当时等号成立，

由可知，，

故的最大值为30°．

故选：A．

2．（2024·天津红桥·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，且．

(1)求的值；

(2)求的值；

(3)求的值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【知识点】给值求值型问题、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形

【分析】（1）利用正弦定理将角化边，即可得解；

（2）利用余弦定理计算可得；

（3）根据平方关系求出，即可求出、，最后由两角和的余弦公式计算可得.

【详解】（1）因为，由正弦定理可得，所以，

又，所以；

（2）由余弦定理，

即，

所以（负值已舍去）；

（3）由，，所以，

所以，

，

所以

.

3．（2024·天津·一模）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，.

(1)求的值；

(2)求的值；

(3)求的值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【知识点】给值求值型问题、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形

【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由余弦定理计算可得；

（2）利用余弦定理计算可得；

（3）首先求出，从而由二倍角公式求出、，最后由两角和的正弦公式计算可得.

【详解】（1）因为，

由正弦定理可得，

又，，

由余弦定理，即，解得或（舍去），

所以.

（2）由余弦定理.

（3）由（2）可得，

所以，

，

又，

所以

.

4．（2024·天津河东·一模）在三角形中，角所对的边分别为．已知，．

(1)求角的大小；

(2)求的值；

(3)求边的值．

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形

【分析】（1）先求出，故，根据大边对大角，得到为锐角，求出；

（2）由二倍角公式得到，进而利用和角公式求出答案；

（3）由余弦定理求出.

【详解】（1）因为，，，解得，

由已知，，

又，故，

故，解得；

（2），，

；

（3）由得，

整理为，解得或（舍）.

5．（2023·天津北辰·三模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．满足．

(1)求角B的大小；

(2)设，．

（ⅰ）求c的值；

（ⅱ）求的值．

【答案】(1)

(2)（ⅰ）；（ⅱ）

【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形

【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式求解即可.

（2）（ⅰ）利用余弦定理求解即可；（ⅱ）利用二倍角公式，两角和的正弦定理结合即可求解.

【详解】（1）由，

根据正弦定理得，,

可得，

因为，故，则，

又，所以.

（2）由（1）知，，且，，

（ⅰ）则，

即，解得（舍），.

故.

（ⅱ）由，

得，

解得，则，

则，

，

则

.

题型2判断三角形形状

判断三角形形状时，可利用正余弦实现边角转化，统一成边或角的形式，还要注意三角形自身的特点

①sinA=sinB?A=B?△ABC为等腰三角形

②sinA=cosB?或?△ABC直角三角形或钝角三角形

③sin2A=sin2B?A=B或?△ABC为等腰三角形或钝角三角形

④cos2A=cos2B?A=B?△ABC为等腰三角形

⑤??△ABC为直角三角形

⑥?

或??△ABC为钝角三角形

或?

⑦?

且??△ABC为锐角三角形

且?

1．（2024·河北秦皇岛·三模）在中，内角，，的对边分别为