重难点01 利用导函数研究恒（能）成立问题（5题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（天津专用）（原卷版）.docx

重难点01利用导函数研究恒（能）成立问题

三年考情分析

2025年考向预测

2024年，第20题第（2）问，考察不等式恒成立求参数

利用导数研究不等式恒（能）成立问题，是导数应用的重点，常涉及函数单调性，最值，常使用变量分离法，分类讨论法，今后也是天津高考重点考点。

题型1不等式恒成立问题（变量分离法）

用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；

步骤：

①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）

②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．

③求最值.

1．（2023·天津红桥·一模）已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程：

(2)若恒成立，求实数的取值范围；

2．（2023·天津河西·模拟预测）已知．

(1)求在处的切线方程；

(2)对，有恒成立，求的最大整数解；

3．（2017·安徽·三模）已知函数

(1)求的单调区间和极值；

(2)若对任意，成立，求实数m的最大值．

4．（2023·天津河北·一模）已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)讨论函数的单调性；

(3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值.

5．（2022·天津·模拟预测）已知函数.

(1)试判断函数在上单调性并证明你的结论；

(2)若对于恒成立，求正整数的最大值；

(3)求证：．

题型2不等式恒成立问题（分类讨论法）

如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．

1．（2024·天津·模拟预测）已知函数．

(1)求在点处的切线方程；

(2)若恒成立，求的值；

2．（2024·天津·二模）已知函数.

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)若对时，，求正实数的最大值；

3．（2024·天津·二模）已知函数，．

(1)若曲线在处的切线的斜率为2，求的值；

(2)当时，证明：，；

(3)若在区间上恒成立，求的取值范围．

4．（2024高三下·天津·专题练习）已知函数.

(1)当时，求在点处的切线方程；

(2)若对，都有恒成立，求的取值范围；

5．（2023·天津河西·二模）已知函数，．

(1)若，求函数的最小值及取得最小值时的值；

(2)求证：；

(3)若函数对恒成立，求实数a的取值范围．

题型3不等式能成立（有解）问题（变量分离法）

用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；

步骤：

①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）

②转化：，使得能成立；

，使得能成立．

③求最值.

1．（2021·天津宁河·一模）已知函数，.

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)当时，证明；

(3)若关于的不等式有解，求实数的取值范围.

2．（24-25高三上·天津西青·期中）已知函数.

(1)当时，求函数在处切线方程；

(2)求函数的单调区间；

(3)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围.

3．（2024·浙江金华·三模）已知函数在（为自然对数的底数）处取得极值．

(1)求实数a的值；

(2)若不等式恒成立，求k的范围．

4．（2024高二上·全国·专题练习）已知函数.

(1)求函数在上的最大值和最小值；

(2)若不等式有解，求实数的取值范围.

5．（22-23高三上·天津滨海新·期末）已知函数，.

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)若存在时，使成立，求a的取值范围.

题型4不等式能成立（有解）问题（分类讨论法）

如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．

1．（24-25高三上·天津滨海新·期中）设函数．

(1)若，求的单调区间和最小值；

(2)在（1）的条件下，若存在零点，则讨论在区间上零点个数；

(3)若存在，使得，求a的取值范围．

2．（2023·江西南昌·模拟预测）已知函数．

(1)若，求函数的单调区间；

(2)若不等式在区间上有解，求实数的取值范围．

3．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）设函数．

(1)若，求的单调区间和极值；

(2)在（1）的条件下，证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点；

(3)若存在，使得，求的取值范围

4．（2024·贵州安顺·二模）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．

5．（2023·甘肃金昌·模拟预测）已知函数．

(1)若，求函数的单调区间；

(2)若存在，使成立，求实数的取值范围．

题型5不等式能成立（有解）问题（最值定位法）

（1）,,使得成立