重难点02 利用导函数研究函数的零点（含隐零点问题）（5题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（天津专用）（原卷版）.docx

重难点02利用导函数研究函数的零点（含隐零点问题）

三年考情分析

2025年考向预测

2022年，第20题第（2）问，考察隐零点的应用

利用导数研究函数零点是导数应用的重点，常涉及函数单调性，函数图象，通常转化为两个函数，根据图象，画出图象（画图常涉及极限）

题型1判断（讨论）零点（根）个数问题

（1）直接法：令则方程实根的个数就是函数零点的个；

（2）零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且，再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数；

1．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）已知.

(1)若，证明：存在唯一零点；

(2)当时，讨论零点个数.

2．（24-25高三上·湖南永州·开学考试）已知函数，，．

(1)若，求的极值；

(2)当时，讨论零点个数；

3．（2023·天津河东·一模）已知函数，．

(1)求函数在点处的切线方程；

(2)，，．

（ⅰ）证明；

（ⅱ）求函数在区间上零点的个数证明．

4．（23-24高二下·天津河北·期中）已知函数.

(1)判断函数的单调性，并求出函数的极值；

(2)画出函数的大致图象；

(3)讨论方程的解的个数.

5．（23-24高二下·海南三亚·阶段练习）给定函数

（1）判断函数的单调性，并求出的极值；

（2）画出函数的大致图象；

（3）求出方程的解的个数

题型2证明函数零点唯一

（1）零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且，再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数；

（2）函数的单调性

1．（23-24高三上·天津北辰·阶段练习）已知函数在点处的切线与直线垂直，已知函数，其中．

(1)设函数，求函数的单调性．

(2)证明：有唯一零点．

2．（2024·江西新余·模拟预测）已知函数.

(1)若，求在处的切线方程.

(2)讨论的单调性.

(3)求证：若，有且仅有一个零点.

3．（2024·江苏·模拟预测）已知函数在处的切线经过原点.

(1)判断函数的单调性；

(2)求证：函数的图象与直线有且只有一个交点.

4．（2024·广西贺州·一模）已知函数．

(1)若，讨论的单调性；

(2)若关于x的方程有且只有一个解，求a的取值范围．

题型3数形结合法讨论零点（根）的个数

数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.

1．（2024高三·全国·专题练习）设函数，．

(1)若函数在定义域上单调递减，求a的取值范围；

(2)当时，讨论函数零点的个数．

2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)当时，讨论的零点个数．

3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．

(1)当时，若恒成立，求实数的值．

(2)当时，讨论的零点个数．

4．（24-25高三上·北京·期中）已知函数.

(1)求函数的图象在点处的切线的方程；

(2)当时，求证：；

(3)讨论函数（且为常数）零点的个数.

5．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知函数，

(1)求函数的单调区间和极值；

(2)讨论关于方程的解的个数.

题型4根据零点（根）个数求参数范围

转化法

（1）将方程转化为

（2）画图

（3）根据图象求参数范围

1．（2024·天津·模拟预测）已知函数

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)求证：；

(3)函数有且只有两个零点，求a的取值范围．

2．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)求的零点个数．

(3)在区间上有两个零点，求m的范围？

3．（23-24高二下·天津·期中）已知是函数的一个极值点.

(1)求；

(2)求函数的单调区间；

(3)若函数有3个零点，求的取值范围.

4．（23-24高二上·北京·期末）已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求的单调区间和极值.

(3)若关于的方程有唯一的实数根，直接写出实数的取值范围.

5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数.

(1)当时，求的单调区间；

(2)证明：若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围.

6．（2024·重庆·模拟预测）已知函数.

(1)当时，求函数的单调性；

(2)若恒成立，求的取值范围；

(3)若有三个极值点，求的取值范围.

题型5隐零点的应用

第1步:用零点存在性定理判定导函数零点的存在性,列出零点方程,并结合的单调性得到零点的范围;

第2步:以零点为分界点,说明导函数的正负,进而得到的最值表