重难点03 利用导函数研究双变量问题（含极值点偏移）（6题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（天津专用）（解析版）.docx

重难点03利用导函数研究双变量问题（含极值点偏移）

三年考情分析

2025年考向预测

2024年，第20题第（3）问，考察双变量证明问题

函数的双变量问题，是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及构造函数证明不等式，是一个多元数学问题，考查考生的化归与转化思想，逻辑思维能力、运算求解能力。

题型1双变量能成立问题

（1）,,使得成立

（2）,,使得成立

（3）,,使得成立

（4）,,使得成立

1．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知函数，，若对任意，，使得恒成立，则实数的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题

【分析】结合复合函数的单调性求出，利用导数求出，“对任意，，使得恒成立”只需“”，解之即可.

【详解】显然，由复合函数的单调性可知在上单调递增，

在0,+∞上单调递减，所以．

，

因为，设，则，

设，得，

令，得，

则当时，单调递增，且.

所以当时，单调递减；

当时，，单调递增.

故.

所以当时，，即当时，．

因为要使任意，，恒成立，只需，

所以，解得，

所以实数的取值范围为．

故选：C

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若，，有成立，故．

2．（23-24高二下·天津）已知函数，则的极小值为；若函数，对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是.

【答案】

【知识点】利用导数研究能成立问题、利用导数研究不等式恒成立问题、求已知函数的极值

【分析】（1）利用导数可求得函数的极小值；

（2）由题意可得出，分、、三种情况讨论，根据题意可得出关于的不等式，进而可求得的取值范围.

【详解】由，得，

令，得，

列表如下：

递减

极小值

递增

所以，函数的极小值为；

（2），，使得，即，.

①当时，函数单调递增，，

，即；

②当时，函数单调递减，，

，即；

③当时，，不符合题意.

综上：.

故答案为：；.

3．（2023·上海金山·二模）已知函数和的表达式分别为，，若对任意，若存在，使得，则实数的取值范围是.

【答案】

【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（含参）

【分析】将问题转化为，由二次函数性质可求得在上的最大值为，分别在、和的情况下，结合导数讨论的单调性，从而得到，由可构造不等式求得的范围.

【详解】对任意，若存在，使得，；

当时，，

在上单调递增，在上单调递减，；

当时，，

①当时，，，

则在上恒成立，在上单调递增，

，，解得：，

；

②当时，，，

令，解得：，

（i）当，即时，在上恒成立，

在上单调递减，，

，解得：，；

（ii）当，即时，在上恒成立，

在上单调递增，，

，解得：（舍）；

（iii）当，即时，

若，则；若，则；

在上单调递增，在上单调递减，

，，解得：（舍）；

③当时，，，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，

，

，，

当，即时，，

，解得：，；

当，即时，，

，解得：，；

综上所述：实数的取值范围为.

故答案为：.

4．（2024高二上·全国·专题练习）已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围是.

【答案】

【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题

【分析】由题意转化为，转化为利用导数求的最大值，并求二次函数的最大值.

【详解】因为，

所以.

当时，，单调递减；

时，，单调递增，

所以.

，时，，

若存在，，

使得成立，只需即可，

所以的取值范围为

故答案为：

5．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知且在上单调递增，.

(1)当取最小值时，证明恒成立.

(2)对，，使得成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【知识点】由函数的单调区间求参数、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题

【分析】（1）首先利用条件可得在恒成立，参变分离后可得，代入后构造函数解不等式即可；

（2）根据题意只需不等式左边的最小值小于等于右边的最小值即可，利用导数即可求得在上的最小值为，即证，使得成立，

即成立，参变分离后再构造函数即可得解.

【详解】（1）由题意可知在上恒成立，

参变分离得，，

此时.

设，

，

令，令，

在上单调递增，在上单调递减.

恒成立，

（2），

当时，，，

在单调递增；

当时，，，

在单调递减；

，，，

在上的最小值为.

易知为偶函数，由偶函数图象的对称性可知在上的最小值为

由题意可得，使得成立，

即成立.

由（1）可知，

参变分离得