晶格振动与晶体的光学性质.ppt

推广：对于复式晶格，若每个原胞中有s个原子，由运动方程可以解得3s个?与q的关系式（即色散关系式），对应于3s支格波，其中3支为声学波（一支纵波，两支横波），3(s－1)支为光学波。二、布里渊区考察?(q)在q空间中的周期性。设有两个波矢q和q’所描述的晶格振动状态完全相同，对于第j支格波，有第30页,共39页，星期六，2024年，5月上式对于任意时刻t和任意的格矢Rl都成立，于是有：{由于Gn为倒格矢，h为整数所以有q’-q＝±Gn，（由于Rl为任意格矢）即：?j(q±Gn)=?j(q)第31页,共39页，星期六，2024年，5月这表明在q空间中，?j(q)是以倒格矢Gn为周期的周期函数。所以，在三维情况下我们仍可将波矢q限制在简约区或第一布里渊区中。若将原点取在简约区的中心，那么，在布里渊区边界面上周期对于的两点间应满足关系：0Gnqq’Gn第32页,共39页，星期六，2024年，5月——布里渊区边界面方程这表明布里渊区的边界面是倒格矢的垂直平方面。布里渊区的几何作图法：根据晶体结构，作出该晶体的倒易空间点阵，并取一

个倒格点为原点；由近到远作各倒格矢的垂直平方面；在原点周围围成一个包含原点在内的最小封闭体积，

即为简约区或第一布里渊区。第33页,共39页，星期六，2024年，5月显然，简约区就是倒易空间中的Wibner－Seitz原胞。这种几何作图法不仅可以给出简约区，即第一布里渊区，也给出了简约区以外的许多封闭区域，它们由内向外依次称为第二布里渊区、第三布里渊区等。ⅡⅡⅡⅡⅡⅡⅢⅢⅢⅢⅢⅢ1222222333333第34页,共39页，星期六，2024年，5月可以证明，每个布里渊区的体积均相等，都等于第一布里渊区的体积，即倒格子原胞的体积?b。布里渊区序号的确定：从某个区域中的任一点到原点联成一条直线，若此直线穿过n个布里渊区边界面，那么，这个区域就是第n+1个布里渊区。正格子格常数倒格子格常数简约区bccafcc由12个{110}面

围成的正12面体fccabcc由8个{111}面和6个{100}面围成的14面体第35页,共39页，星期六，2024年，5月三、周期性边界条件设晶体为一平行六面体，其棱边沿基矢a1、a2和a3方向，N1、N2和N3分别为晶体沿三个基矢方向的原胞数。那么，晶体的总原胞数为：N＝N1N2N3。周期性边界条件：对于第j支格波：?＝1,2,3?h?=整数第36页,共39页，星期六，2024年，5月令?＝1,2,3h1,h2,h3＝整数可见，引入周期性边界条件后，波矢q的取值不连续，这些的q取值在q空间中构成一个态空间点阵。第37页,共39页，星期六，2024年，5月在q空间中，每一个q的取值（状态）所占的空间为：其中，V＝Nva＝晶体体积所以，在q空间中，波矢q的分布密度简约区中波矢q的取值总数＝?(q)·?b＝N＝晶体的原胞数这一结论与一维情况相同。第38页,共39页，星期六，2024年，5月对于简单晶格，每一个q的取值对应于三个声学波（1个纵波，2个横波）。晶格振动格波的总数＝3N＝晶体的自由度数。对于复式晶格，每一个的取值对应于3个声学波和3(s-1)个光学波。晶格振动格波的总数＝[3＋3(s-1)]N=3sN=晶体的自由度数{晶格振动波矢的总数＝晶体的原胞数晶格振动格波的总数＝晶体的自由度数第39页,共39页，星期六，2024年，5月其中?为弹性恢复力系数。设原子质量为m，则第n个原子的运动方程为试解——格波方程其中q为波数，na相当于将原点取在第0个原子的平衡位置时第n个原子的平衡位置，?和A为常数。解得——色散关系第2页,共39页，星期六，2024年，5月二、格波的简约性质、简约区——简约区在简约区内，?与q一一对应，称为q的主值范围。{格波：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振动，

不同原子间有振动位相差，这种振动以波的形式在

整个晶体中传播，称为格波。第3页,共39页，星期六，2024年，5月从形式上看，格波与连续介质弹性波完全类似，但连续介质弹性波中x是可以连续取值的；而在格波中只能取na（即原子的位置），这是一系列周期排列的点。由此可知，一个格波解表示所有原子同时做频率为?的振动，不同原子有不同的振动位相，相邻两原子的振动位相差为aq。若aq改变2?