湖南省郴州市2025届高三上学期12月期末考试数学试题（解析版）.docx

高级中学名校试卷

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湖南省郴州市2025届高三上学期12月期末考试数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】因为，，

所以

故选：B

2.设，是两个平面，，是两条直线，若，，则“”是“，”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若，，则,可能平行，也可能相交，

故不一定成立，

若，则，，

故是，的充分不必要条件.

故选：A

3.已知向量，满足，，则（）

A.1 B.2 C. D.

【答案】C

【解析】因为，，

所以，

则，

所以，

所以.

故选：C.

4.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为，，则“”的概率为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，共有种基本事件，

设为抛掷一枚质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为，，则“”，

则中共有基本事件3种：，，

所以，故“”的概率为.

故选：D.

5.已知双曲线的左、右焦点分别为，，为的右支上一点，为的中点，为线段上一点，若（为坐标原点），则（）

A.4 B.2 C.1 D.

【答案】C

【解析】如图，连接，

由题意可知，

因为为坐标原点，为的中点，

所以，，

则.

故选：C

6.在中，内角，，的对边分别为，，，，，，为边上一点，且，则的面积为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】因为在中，，又为边上一点，且，

所以，

又，所以，

所以，解得，

所以.

故选：D.

7.已知，，，则（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】令，求导得，

令，所以，所以在上单调递增，

所以，所以，所以单调递增，

所以，

所以，

所以，

所以，即，

令，求导得，

所以在上单调递减，所以，

所以，所以，所以，

所以，所以.

故选：B.

8.已知是递减的整数数列，若，且，则的最小值为（）

A.54 B.55 C.63 D.64

【答案】D

【解析】因为是递减的整数数列，

所以要使最小，应使递减的幅度尽可能小,考虑公差为的等差数列,

设,由,得.

记前项和为，则,当时,，

不满足题意；当时，，

因,只需去掉这一项即可，

即满足题意的数列为，即的最小值为64.

故选：D

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知事件、发生的概率分别为，，则下列结论正确的是（）

A.

B.

C.一定有

D.若，则与相互独立

【答案】ABD

【解析】对于A选项，由对立事件的概率公式可得，A对；

对于B选项，因为，

当且仅当时，等号成立，

又因为，，

所以，

，

当且仅当时，等号成立，

综上所述，，B对；

对于C选项，因为，，无法确定、的包含关系，C错；

对于D选项，因为，

所以，，则、独立，进而可知，与相互独立，D对.

故选：ABD.

10.已知函数则（）

A.在区间上单调递增

B.仅有个极大值点

C.无最大值，有最小值

D.当时，关于的方程共有个实根

【答案】BC

【解析】对于A选项，当时，，

则，

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，A错；

对于B选项，由A选项知，函数在上有一个极大值点，

当时，，则，此时函数单调递增，

当时，，此时函数有极小值点，无极大值点，

综上所述，函数仅有个极大值点，B对；

对于C选项，当时，，

当时，，

所以，函数的最小值为，函数无最大值，C对；

对于D选项，如下图所示：

由图可知，当时，关于的方程共有个实根，D错.

故选：BC.

11.已知正方体的棱长为，、、分别为棱、、上的动点，是空间中任意一点，则下列结论正确的是（）

A.

B.用一个平面截该正方体，所得截面面积的最大值为

C.若，则的最大值为

D.若，则三棱锥的体积最大时，其外接球的体积为

【答案】ACD

【解析】对于A选项，因为平面，平面，则，

因为四边形为正方形，则，

因为，、平面，所以，平面，

因为平面，所以，，A对；

对于B选项，取截面，因为平面，平面，

则，

易得，，且四边形为矩形，

则，

所以，用一个平面截该正方体，所得截面面积的最大值不是，B错；

对于C选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则A0,0,0、、，

设点、，

，，

因为，则，

可得，

当且仅当时，即当时，等号成立，

所