几类可降阶的高阶微分方程.ppt

湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院*第4章微分方程与差分方程在科学技术和经济管理等许多实际问题中，01系统中的变量间往往可以表示成一个（组）微分方程02或差分方程，它们是两类不同的方程，前者处理的量03的离散变量，04间隔时间周期作为统计的.05动态06是连续变量；而后者处理的量则是依次取非负整数值07例如在经济变量的数据中就有很多以084.1几类可降阶的高阶微分方程湘潭大学数学与计算科学学院*小结01型的微分方程02型的微分方程03型的微分方程04下面介绍三类可降阶的高阶微分方程的解法.二阶和二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程.有些高阶微分方程，可以通过自变量或未知函数的代换降低阶数，从而求出解来.01020304型的微分方程湘潭大学数学与计算科学学院*一、令因此即同理可得依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.变量代换则例1湘潭大学数学与计算科学学院*解（此处例2解微分方程湘潭大学数学与计算科学学院*.解对方程两边积分得：再对以上二阶方程积分得最后对以上一阶方程积分，得通解为型的微分方程湘潭大学数学与计算科学学院*设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,得原方程的通解二、则变量代换例3求解湘潭大学数学与计算科学学院*01解令06于是有05利用02代入方程，得04分离变量07两端再积分得10则09因此所求特解为03积分得08利用型的微分方程湘潭大学数学与计算科学学院*三、令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分,得原方程的通解变量代换则例4求解湘潭大学数学与计算科学学院*代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解设则例5解初值问题湘潭大学数学与计算科学学院*解令代入方程，得积分得利用初始条件,则积分得根据故所求特解为得四、小结湘潭大学数学与计算科学学院*可降阶微分方程的解法01——降阶法02逐次积分03令04令05则06则07思考与练习湘潭大学数学与计算科学学院*或均可.例如,如何代换求解?答:令一般说,用前者方便些.1.方程01有时用后者方便.答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.遇到开平方时,要根据题意确定正负号.2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?02湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页*