中考数学二轮培优复习专题34 中考命题核心元素铅锤法求面积（解析版）.docVIP

专题34中考命题核心元素铅锤法求面积（解析版）

模块一典例剖析+针对训练

模型一三角形面积问题

【模型解读】作以下定义：如图①，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”(h)．于是可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC＝eq\f(1,2)ah，即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．

【常见铅垂法】

(1)竖切，面积公式均为S＝eq\f(1,2)dh.

(2)横切，面积公式均为S＝eq\f(1,2)dh.

典例1（2022?会理县校级模拟）铅锤定理：一个三角形，从一条边上的两个顶点作垂线，且互相平行，铅锤定理就是一种求三角形面积的特殊方法，主要解决的是斜三角形面积问题．具体公式是：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半．该三角形面积等于两垂线乘积的一半．如图1所示：S△OAB

应用：

（1）如图2所示：平面直角坐标系中，点A（4，4），点B（6，2），点C（4，1）求：△OAB的面积；

（2）抛物线y1=k1x2+b1x+c经过点原点O且与x轴交于点C（6，0）直线y2＝k2x

（a）求抛物线和直线OB的解析式；

（b）当△OBP面积最大时，求P的坐标．

思路引领：（1）利用铅锤法直接求三角形面积即可；

（2）（a）利用待定系数法求函数的解析式即可；

（b）过点P作PM∥y轴交于M点，设P（t，?12t2+3t），则M（t，

解：（1）∵A（4，4），点C（4，1），

∴AC＝3，

∴S△OAB=12×

（2）（a）∵抛物线y1=k

∴c＝0，

∵点C（6，0）经过抛物线，

∴36k1+6b1＝0，

∴b1＝﹣6k1，

∴y1＝k1x2﹣6k1x，

将点B（4，4）代入y1＝k1x2﹣6k1x，

∴16k1﹣24k1＝4，

解得k1=?1

∴抛物线的解析式为y1=?12x2+3

∵直线y2＝k2x+b2经过原点和点B（4，4），

∴b2＝0，k2＝1，

∴直线OB的解析式为y＝x；

（b）过点P作PM∥y轴交于M点，

设P（t，?12t2+3t），则M（t，

∴PM=?12t2+2

∴S△OPB=12×4（?12t2+2t）＝﹣（

当t＝2时，△OPB的面积有最大值4，此时P（2，4）．

总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，铅锤法求三角形的面积是解题的关键．

针对训练

1．（2019?沈阳）如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2=k2x（x＞0）的图象相交于点A（3，23），点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接OB，AB，则△AOB的面积是2

思路引领：把点A（3，23）代入y1＝k1x和y2=k2x（x＞0）可求出k1、k2的值，即可正比例函数和求出反比例函数的解析式，过点B作BD∥x轴交OA于点D，结合点B的坐标即可得出点D的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出

解：（1）∵正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2=k2x（x＞0）的图象相交于点A（3

∴23=3k1，2

∴k1＝2，k2＝6，

∴正比例函数为y＝2x，反比例函数为：y=6

过点B作BD∥x轴交OA于点D，

∵点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，

∴y=6

∴B（3，2），

∴D（1，2），

∴BD＝3﹣1＝2．

∴S△AOB＝S△ABD+S△OBD=12×2×（23?2）+1

故答案为23．

总结提升：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例（一次）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式以及三角形的面积，解题的关键是：根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式；利用分割图形求面积法求出△AOB的面积．

典例2（2023?岳阳县一模）如图，抛物线y=12x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点

（1）请直接写出点A，B，C的坐标；

（2）若点P是抛物线BC段上的一点，当△PBC的面积最大时求出点P的坐标，并求出△PBC面积的最大值；

（3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

思路引领：（1）将x＝0及y＝0代入抛物线y=12x2﹣2x

（2）连接OP，设点P（m，12m2?2m﹣6），分别表示出S△POC，S△BOP，计算出S△BOC，根据S△PBC＝S四边形PBOC﹣S△BOC

（3）可分为?ACFE和?ACEF的情形．当?ACFE时，点F和点C关于抛物线对称轴对称，从而得出F点坐标；当?ACED时，可推出点F的纵坐标为6，进一步求得结果．

解：（1）