中考数学二轮培优复习专题38 中考最值难点突破胡不归问题（解析版）.doc

专题38中考最值难点突破胡不归问题（解析版）

模块一典例剖析+针对训练

类型一有辅助角(隐含辅助角)

典例1点P在直线上运动“胡不归“问题

【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路．由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所心以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭．邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？何以归”．这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”．

思路引领：先沿着驿道AC先走一段，速度为V1，再走沙砾地带，速度为V2，可以提前到家

解：先沿着驿道AC先走一段，速度为V1，再走沙砾地带，速度为V2，可以提前到家．如图，

运动时间t=ADV1+BDV2

在直线AC的下方作射线AE，使得sin∠CAE=V

过点D作DG⊥AE于点G，过点B作BH⊥AE于点H，交AC于点F．

在Rt△ADG中，DG＝AD?sin∠DAG=V2V

∴运动时间t=1V2（BD

∵BD+DG≥BH，

∴先沿着驿道AC先走一段AF，速度为V1，再走沙砾地带FB，速度为V2，可以使得时间最小．

总结提升：本题考查胡不归问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，把问题掌握垂线段最短解决．

针对训练

1．（2022春?江汉区月考）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝30°．BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则32BP+CP的最小值是

思路引领：过点P作PE⊥AB于点E，先在Rt△ABD中求出∠ABD及BD，再在Rt△BPE中利用sin60°得到32BP+CP=EP+CP，当当C、P、E三点在同一直线上，且CE⊥AB时其取得最小值，最小值为

解：过点P作PE⊥AB于点E，

在Rt△ABD中，∠ABD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，BD=1

在Rt△BPE中，sin60°=EP

∴EP=32

∴32BP+CP=EP+

当C、P、E三点在同一直线上，且CE⊥AB时32BP+CP=EP+

∵AB＝AC＝10，BD⊥AC，CE⊥AB，

∴CE＝BD＝5，

∴32BP+CP=EP+

故答案为5．

总结提升：此题是胡不归模型，涉及到等腰三角形的性质，直角三角形的性质、锐角三角函数等，解题关键是将32BP+CP转化成EP+

2．（2021春?丽水期中）如图，?ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点．

求：（1）当PD＝6?3时，PB

（2）PB+12PD的最小值等于

思路引领：（1）点到直线上点的连线中，垂线段最短，当PB⊥CD时，PB最短；

（2）过P点作AD延长线上的垂线PE，则PE=12PD，则12PD+PB=PE+PB，当P、

解（1）如图，

当PB⊥CD时，PB最短，

∠C＝∠DAB＝30°

∴PB=12BC=1，

∴PD＝CD﹣CP=6?3

故答案为：6?3

（2）如图，

过P点作PE⊥AD延长线于E点，过B作BF⊥AD延长线于F点，

∵CD∥AB，

∴∠EDP＝∠DAB＝30°，

∴EP=12

∴12

当且仅当B、P、E三点共线时取等号，

∵BF=1

∴12

∴最小值为3．

故答案为：3．

总结提升：本题考查最值问题中的胡不归模型，利用转化思想转化12

3．（2017春?农安县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，?3），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D

（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；

（2）点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，求点M的坐标；

（3）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求12PB+PD

思路引领：（1）将A、B、C三点的坐标代入y＝ax2+bx+c，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式，进而得到其顶点坐标；

（2）当以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形时，分三种情况：①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM＝AB；②以B为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM＝AB；③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM＝BM，分别列出方程，求解即可；

（3）连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时12PB+PD最小．最小值就是线段DH，求出DH

解：（1）由题意a?b+c=0c=?34a+2b+c=0

∴抛物线解析式为y=32x2?3

∵y=32x2?32x?3=3

∴顶点坐标（12，?

（2）设点M的坐标为（12，y

∵A（﹣1，0），B（0