6.3 解三角公式（第1课时）（课件）-2024-2025学年高一数学（沪教版2020必修第二册）.pptxVIP

第六章三角

6.3解三角形(第1课时)

沪教版(2020)必修第二册

新课引入

在初中我们已学习了直角三角形的求解问题，但在解决实际问题时，所遇到的三角形往往不是直角三角形.我们将不是直角三角形的三角形统称为斜三角形.在三角形的三个角和三条边这六个元素中，经常会遇到已知其中三个元素(至少一个元素为边)求其他元素的问题，这称为解三角形.为此，需要知道边和角之间的数量关系.

正弦定理

例如，某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A和

B.某日两个观测点的林场人员都观测到C处出现火情.在A处观测到火情发生在北偏西40°方向，而在B处观测到火情在北偏西60°方向.已知B在A的正东方向10km处(图6-3-1),要确定火场C分别距A及B多远.将此问题转化为数学问题：

在△ABC中，已知∠CAB=130°,∠CBA=30°,AB=10km.求AC与BC的长.C

A

图6-3-1

禽B

400

60°

为解答这个斜三角形问题，就要研究斜三角形中边与角之间的

关系.

在△ABC中，无论A为锐角、直角还是钝角，对边AB上

的高h,都有h=bsinA,其中b为边AC的长.

为了避免分类讨论，我们借助平面直角坐标系来统一处理.

如图6-3-2,以△ABC的顶点A为坐标原点，边AB所在直线为x轴，

建立平面直角坐标系.将角A、B及C所对边的边长分别记作a、

b及c,则点B、C的坐标分别为(c,0)及(bcosA,bsinA),而△ABC

这就是说，三角形的面积等于任意两边与它们

夹角正弦值的乘积的一半，即三角形的面积公式为

图6-3-2

这样，我们就得到了正弦定理：在△ABC中，若角A、B及C所对边的边长分别为a、b及c,则有

将上式同时除,就得到

即

例题1.在△ABC中，已知B=30°,C=105°,b=4,解三角形ABC.

解因为B=30°,C=105°,所以

A=180°-(B+C)=180°-(30°+105°)=45°.

由正弦定理，得

解得

[解析]因为tanB=√2,所以.又A=60°,所以

sinC=sin[180°-(A+B)]=sin(120°-B)=sin120cosB-

变式1.在△ABC中，已知A=60°,tan

B=√2,a=2,则

.由正弦定理，得

,即

正弦定理表明三角形的各边和它所对角的正弦的比相

等.那么,这个比的几何意义是什么呢?

例：已知圆0是△ABC的外接圆，其圆心为0,直径为2R.试

用R与角A、B及C的正弦来表示三角形三边的边长a、b及c.

解：由于三角形内角和等于180°,因此角A、B及C中至少

有两个角是锐角，不妨设A为锐角，如图6-3-3所示.过B作直径BD,并连接CD.直径BD所对的圆周角∠DCB=90°,弧BC所对的圆周角∠D=∠A,且BD=2R.于是

图6-3-3

换言之

a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.

(R为△ABC的外接圆半径),

这样，由正弦定理就得到

a=BC=BDsinD=BDsinA=2RsinA,

例题2.在△ABC中，a=√2,A=45°,则△ABC外接圆的半

径R等于(A)

A.1B.2C.4D.无法确定

变式2.已知△ABC外接圆半径是2,A=60°,则BC的长为2√3

题型归纳

题型1正弦定理解三角形-已知两角及一边解三角形

例1.在△ABC中，已知c=10,A=45°,C=30°,解这个三角形.

解：因为A=45°,C=30°,

所以B=180°-(A+C)=105°.

由,得

.

因为sin105°=sin(60°

题型2已知两边及一边的对角解三角形

例2.在△ABC中，已知c=√6,A=45°,a=2,解这个三角形.

解：因为,所以

0°C180°,所以C=60°或C=120°.

当C=60°时，B=75°,

当C=120°时，B=15°,

所以b=√3+1,B=75°,C=60°或b=√3-1,B=15°,C=120°.