2024_2025学年高中数学第1章立体几何初步1_6_2垂直关系的性质学案北师大版必修2 .pdf

6.2垂直关系的性质

课前自主预习

要点梳理

1.直线和平面垂直的性质定理

如果两条直线同垂直于个平面，那么这两

文字语言

条直线平行

ah

4

图形语言27

q_Lq)

符号语言^=a//b

b_La\

①线面垂直。线线平行

作用

②作平行线

2.平面和平面垂直的性质定理

两个平面垂直，则个平面内垂直于交线的

文字语言

直线与另个平面垂直

图形语言

a_LB.

aD/3=M.\,

符号语言QAB_Lq

AB呈B

AB_LMN:

①面面垂直=线面垂直

作用

②作面的垂线

推断正误(正确的打，错误的打“X”)

(1)两条平行直线中的条垂直于个平面，另条也垂直于这个平面.()

(2)垂直于同平面的两个平面平行.()

(3)假如两个平面垂直，那么经过第个平面内点且垂直于其次个平面的直线在第

个平面内.艮a±J3,JGa,b,b±J3^ba.()

(4)假如平面平面6,那么平面a内的全部直线都垂直于平面8.()

［答案］(1)V(2)X(3)V(4)X

题型始终线与平面垂直的性质定理

【典例1】如图，在四棱锥户/助中，底面/助是矩形，力合上平面AD=AP,

E是初的中点，M,0分别在刃。PCL且如MNPPC.

求证：AE//MN.

［思路导引］由如直如，MN—PC,可推出如重平面/O,要证如77如；只需证明，EL

平面/O即可.

［证明］因为如上平面刖〃，AE平面所以处又AB〃CD,所以AE—CD.

因为也=妒，E是初的中点，所以电工

又CDCPD=D,所以如工平面户以

因为血VJ_/。AB//CD,所以如_以

又因为如直处；PCCCD=C,

所以如CL平面/O,所以如蜿

|名师提醒A

证明线线平行的常用方法

(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点.

(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线.

(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.

(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.

(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.

［针对训练1］如图，已知平面QC平面B=LEA±垂足为4EB—B,垂足为

B,直线aB,a^AB.求证：a//1.

［证明］因为易aCB=1,即/a,所以ILEA.

同理1LEB.又EACEB=E,所以平面

因为EB—6,aB,所以EB顼

又aLAB,EBCAB=B,所以a_L平面EAB.

由线面垂直的性质定理，得a//L

题型二平面与平面垂直的性质定理及应用

【典例2】如图，在三棱锥尸地。中，四_£平