浙江省杭州市部分学校高三上学期期末联考数学试题.docx

2025届高三部分学校第一学期期末联考

一、单选题（共40分）

1.已知集合，且，则等于（）

A或 B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据元素与集合的关系，分两种情况讨论属于集合的情况，再根据集合元素的互异性进行检验.

【详解】当时，得.此时.此时集合.

因为不满足集合元素的互异性，所以不符合题意，舍去.

当时，解方程，即，可得或.

若，则，此时集合.

不满足集合元素的互异性，所以不符合题意，舍去.

若，则，此时集合.符合集合元素的互异性.

故选：C.

2.已知复数z与复平面内的点对应，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的几何意义可得，由复数的除法运算法则即可得结果.

【详解】由复数的几何意义可知，则．

故选：C.

3.已知，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，利用诱导公式求得结果.

【详解】由，得.

故选：D

4.若，则向量与的夹角为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】由条件等式得到，由向量夹角的计算公式和等式化简得到，从而得到向量之间的夹角.

【详解】由条件可知，两边平方后得，

并且，.

因为向量夹角的范围是，所以向量与的夹角为.

故选：A.

5.已知，则的最小值为（）

A. B.9 C. D.10

【答案】B

【解析】

【分析】首先对题中所给的式子进行变形为，利用基本不等式求得最小值，将问题转化为，解不等式求得结果.

【详解】由，得，

则，

当且仅当，即时等号成立，

令，则，解得（舍去）或，

则，当且仅当，时等号成立，

即的最小值为9.

故选：B.

6.某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则等于（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，结合条件概率的计算公式，即可求解．

【详解】设事件为选到的是团员，事件为选到的是男生，

根据题意可得，，，

故．

故选：B．

7.已知是等差数列的前项和，且，，则（）

A.数列为递增数列 B.

C.的最大值为 D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据等差数列的性质及前项和公式逐项判断即可.

【详解】由题意，，，则，故B错误；

数列的公差，所以数列为递减数列，故A错误；

由于时，，时，，

所以的最大值为，故C正确；

，故D错误.

故选：C.

8.已知当时，函数取得最大值2，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意可得，解方程组可得的值，验证单调性记即可得的值.

【详解】，因为当时，函数取得最大值2，

所以，即，解得，

所以，，

令，得；令，得；

所以在上单调递增，在上单调递减，

则，符合题意，

所以.

故选：C.

二、多选题（共18分）

9.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A.函数的最小正周期为

B.函数的图象关于直线对称

C.函数在单调递减

D.该图象向右平移个单位可得的图象

【答案】BD

【解析】

【分析】利用三角函数的性质对选项逐一判断即可.

【详解】由图象得，，解得，所以的最小正周期为，故A错；

，则，将代入中得，

则，，解得，，

因为，所以，，，

所以是的对称轴，故B正确；

当时，，因为在上不单调，

所以在上不单调，故C错；

该图象向右平移个单位可得，故D正确.

故选：BD

10.已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两点，在线段上，点为在上的射影．线段交轴于点，下列命题正确的是（）

A.对于任意直线，均有

B.不存在直线，满足

C.对于任意直线，直线与抛物线相切

D.存在直线，使

【答案】AC

【解析】

【分析】A选项由为线段的中点以及抛物线定义即可判断，B选项由及抛物线方程求出，坐标，再说明，，三点共线，即存在直线即可，C选项设，，表示出直线，联立抛物线，利用即可判断，D选项设出直线，联立抛物线得到，通过焦半径公式结合基本不等式得即可判断．

【详解】对于选项A，如图，由抛物线知为的中点，轴，所以为线段的中点，

由抛物线的定义知，所以，所以选项A正确；

对于选项B，设，，，，，为线段的中点，则，

，，由，得，

解得，，又，，故，，，

可得，，故存在直线，满足，所以选项B不正确；

对于选项C，由题意知，为线段的中点，从而设，则，

直线的方程，与抛物线方程联立可得：，

又，代入整理得，

则，所以直线与抛物线相切，所以选项C正确；

对于选项D，设的方程，联立，则