组合数及其性质+高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册.pptx

5.3.2组合数及其性质

问题1：组合的概念的要点是什么？?问题2：两个组合是相同组合的充要条件是什么？只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合.

1.理解组合数的概念，能利用计数原理推导组合数公式.2.能运用组合数公式进行简单计算.3.通过对实际问题的分析，掌握组合数的两个性质.

概念讲解 从n个不同元素中取出m(m≤n且m,n∈N+)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m(m≤n且m,n∈N+)个元素的一个组合数.记作.例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数表示为从4个不同元素中取出3个元素的组合数表示为

问题3：从a,b,c,d这4个不同元素中取出2个元素，有多少种排法？多少种取法？第2步，将取出的2个元素进行排列，共有种排法.第1步，从a,b,c,d这4个不同元素中取出2个元素，共有种取法;因此，根据分步乘法计数原理，从而思考：类似的，说一说计算组合数的一般化表示.该排列问题可以分解成以下2个步骤：

一般地，考虑与的关系：把“从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素进行排列”这件事，可以分解成以下2个步骤：第1步，从n个不同元素中取出m个元素，共有种取法;第2步，将取出的m个元素进行排列，共有种排法.因此，根据分步乘法计数原理，我们得到“从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素进行排列”共有种排法，即.

概念生成规定从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的组合数为上述这个公式叫作组合数公式.

例1：计算：(1)；(2).(2)解：(1)分析：在具体计算时，应用组合数的连乘公式计算.

思考：通过例1和例2，可以发现三组相等的组合数：他们之间有什么共同特点？你能得出什么结论？共同特点：(1)两个组合数的下标相同；(2)两个上标的和等于下标.猜想：满足2个特征的组合数

思考：试证明证明：因此

组合数性质1：(1)反映了组合数的对称性；(2)在计算组合数时，当时，将计算转化为计算会更加简便.概念生成

问题4：从10名普通战士和1名班长中选出5名参加军事比武大赛.（1）共有多少种方案？（2）班长被选中的方案有几种？（3）班长没被选中的方案有几种？解：（1）选择方案共有种.（2）班长被选中的选择方案共有种.（3）班长没被选中的选择方案共有种.思考：在整个选派过程中，班长要么被选中，要么不被选中，对比（1）你发现了什么？你能猜想得出一般性的结论吗？发现：猜想：

通过构造下面的情境来说明猜想：猜想的左边表示：从(n+1)个不同的小球中取出m个小球的组合数.现将这(n+1)个小球看成n个红球和1个黑球，从中取出m个球.所有取法可以分成以下2类：第1类，不取黑球，从n个红球中，取出m个球，方法数为;第2类，取出1个黑球和(m-1)个红球，因此，取出的方法数相当于从n个红球中，取出(m-1)个球，方法数为.因此，根据分类加法计数原理，共有种取法.由此，我们得到：

组合数性质2：注：(1)体现了“含”与“不含”的分类思想；(2)下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数.概念生成

2.若,求n的值.解：因为,即,所以n+1=7+8,即n=14.练一练?解：由原方程得x＋1＝2x－3或x＋1＋2x－3＝13，故原方程的解为x＝4或x＝5.

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针对本节课所学内容，说说你都学到了哪些知识？组合数及其性质组合数公式：性质