重难点专题13 导数与三角函数结合的解答题（教师版） 备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）.pdf

重难点专题13导数与三角函数结合的解答题

题型1分段分析法1

题型2放缩法15

题型1分段分析法

【例题1】（2023秋·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考开学考试）已知函数()=sin

―ln(1+)′()()

，为的导数．证明：

（1）′()在区间(―1,2)存在唯一极大值点；

（2）()有且仅有2个零点．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）求得导函数后，可判断出导函数在―1,上单调递减，根据零点存在定理可

2

′

∃∈=0

判断出00,，使得(0)，进而得到导函数在―1,上的单调性，从而可证得结

22

论；（2）由（1）的结论可知=0为()在(―1,0]上的唯一零点；当∈0,时，首先可判

2

断出在(0,0)上无零点，再利用零点存在定理得到()在,上的单调性，可知()0，

0

2

不存在零点；当∈,时，利用零点存在定理和()单调性可判断出存在唯一一个零点；

2

∈0

当(,+∞)，可证得()；综合上述情况可证得结论.

1

【详解】（1）由题意知：()定义域为：(―1,+∞)且′()=cos―+1

1

=cos―∈

令()+1，―1,2

1

′

∴=―sin+∈

()(+1)2，―1,2

1

∵(+1)2在―1,上单调递减，―sin，在―1,上单调递减

22

′

∴()在―1,上单调递减

2