独立性与概型.pdfVIP

§6的独立性与贝努里概型

一、的独立性

一般地，在已知B发生的条件下A发生的条件

概率P(AB)，和不清楚B是否发生的情况下A发

生的概率P(A)往往是不同的，即有P(AB)P(A)，这表明

B发生与否对A发生的可能性有影响．

但在有些情况下，B的发生对A发生的可能性

并无影响，即有P(AB)P(A)或P(AB)P(A)P(B)。

这就是将要介绍的独立性。

定义6.1如果随机A,B满足P(AB)P(A)P(B)，就称

和相互独立．

AB

和相互独立的直观理解为和各自发

ABAB

生与否没有任何关系．

（了解）由此定义可知必然、不可能分别

和任意A相互独立，即总有

P(A)P(A)P()和P(A)P(A)P()．

注意：相互独立和互不相容是两个不同的概

念．如果和相互独立，且，则

ABP(A)0,P(B)0A

和B不可能互不相容．

定理6.1设，则和相互独立的充要条件

P(B)0AB

为P(AB)P(A)．

定理6.2设为两个随机，如果和相互独立，

A,BAB

则A和B相互独立；A和B相互独立；A和B也相互独立

推论6.1设A,B为两个随机，则下列四对

A和B；A和B；A和B；A和B

相互独立是等价的．

定理6.3设为两个随机，且，则和

A,B0P(B)1A

B相互独立的充要条件为P(AB)P(AB)．

定理6.3中P(AB)P(AB)的等价形式为

P(AB)+P(AB)1．

的独立性往往也可以通过实际问题中各种随机现

象之间的关系来判断．

例如在实际问题中，出现“互不干扰”，“互不影响”

“独立工作”，“有放回”等字眼时，通常都体现了的独

立性，而“不放回”往往反映了之间不相互独立．

例6.1设随机与相互独立，已知发生不发生

AB