概率论与数理统计思想方法的产生与发展.ppt

柯尔莫哥洛夫的贡献却远不止于此，他还涉及函数论与调和分析、拓扑学、动力系统、微分方程、泛函分析、射影几何、流体力学、自动控制、信息论、数理统计及数理逻辑等。他关于这些领域的论文大都短小精悍，带有开创或奠基性质。柯尔莫哥洛夫对数学史和数学哲学也表现出浓厚的兴趣并发表过许多脍炙人口的论述。作为出色的教育家，他培养的青年数学家仅成为原苏联科学院院土或通信院土的就有6位。柯尔莫哥洛夫还亲自给中学生讲课，并领导组织了全苏数学奥林匹克竞赛。柯尔莫哥洛夫是英、美、法等12个国家科学院的名誉院土，并多次获得国际大奖。但他本人很少关心名誉、头衔和金钱，1965年，他把得到的国际巴桑奖金全数捐赠给学校图书馆；1980年他荣获沃尔夫奖，却没有前去领取奖金。第69页,共90页，星期六，2024年，5月第四节公理化后概率论的发展一、中心极限定理的推广20世纪30年代的学者，都力图为“中心极限定理”找到充分必要条件。1935年，美国数学家费勒证明了林德贝格条件对于任何给定的是收敛于正态分布的充分必要条件其中为有限标准差。第70页,共90页，星期六，2024年，5月除了正态分布律以外，还有些什么分布律可以作为独立随机变量和的极限律呢？1937年，辛钦的结果表明，极限律远不限于正态律，但极限律的共同性质是无穷可分的，也就是对于任何自然数n，依分布的随机变量总是n个具有同一分布律的独立随机变量之和。至此，概率论中的古典极限定理问题获得了令人满意的解决。20世纪40年代以来，独立随机变量之和的极限定理为主导的极限理论成为现代概率论的重要研究方向之一。原苏联在此领域中居于领先地位。第71页,共90页，星期六，2024年，5月二、随机过程研究随机过程是现代概率论最重要的分支，它产生于随时间变化的偶然性的数学模型。例如，某地第n年的降水量Xn由于受许多随机因素的影响，它本身具有随机性，因此Xn，n＝1，2，…，便是一个随机过程。类似地，森林中动物的头数，百货公司每天的顾客人数，液体中受分子碰撞而作布朗运动的粒子的位置等等，都随时间而变化形成随机过程。严格地说，现实中的大多数过程都具有程度不同的随机性。数学定义如下：设（Ω,F,P）为概率空间，T为指标t的集合（通常视t为时间），如果对于每个，有定义在Ω上的随机变量X（t）与之对应，就称随机变量族X＝X（t），为一随机过程（简称为过程）。第72页,共90页，星期六，2024年，5月20世纪初，一些特殊的随机过程早已引起人们注意。例如，1907年，马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链；1923年维纳给出了布朗运动的数学定义，这种过程至今仍是重要的研究对象。人们在实际中常遇到具有下述特性的随机过程：在已知它目前的状态(现在)的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）。这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔可夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程。荷花池中一只青蛙的跳跃是马尔可夫过程的一个形象化的例子。青蛙依照它瞬间或起的念头从一片荷叶上跳到另一片荷叶上，因为青蛙是没有记忆的,当现在所处的位置已知时,它下一步跳往何处和它以往走过的路径无关。如果将荷叶编号并用分别表示青蛙最初处的荷叶号码及第一次、第二次、……跳跃后所处的荷叶号码，那么就是马尔可夫过程。第73页,共90页，星期六，2024年，5月随机过程的一般理论的研究通常认为始于20世纪30年代。30年代初，柯尔莫哥洛夫发表的《概率论的解析方法》和辛钦发表的《平稳过程的相关理论》为马尔可夫过程和平稳过程奠定了理论基础。1951年伊藤清（KiyosiIto,1915～）建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论，为马尔可夫过程的研究开辟了新的道路。1953年J．L．杜布的名著《随机过程论》问世，系统而又全面地叙述了随机过程的基本理论。60年代，法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论。液体中微粒所作的布朗运动，传染病受感染的人数，原子核中一自由电子在电子层中的跳跃，人口增长过程等等都可视为马尔可夫过程。还有些过程（例如某些遗传过程）在一定条件下可以用马尔可夫过程来近似。第74页,共90页，星期六，2024年，5月随机过程的研究方法是多样的，主要可分为两大类：◆概率方法，其中用到轨道性质、停时、随机