中考数学难点突破专题30 轴对称综合题中的面积问题(解析版).docx

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专题30轴对称综合题中的面积问题

【题型演练】

一、单选题

1．如图，在正方形ABCD中，点O为对角线的交点，点P为正方形外一点，且满足∠BPC＝90°，连接PO．若PO＝4，则四边形OBPC的面积为（）

A．6 B．8 C．10 D．16

【答案】B

【分析】先画出将△OCP顺时针旋转90°到△OBQ的位置的图形，再证Q、B、P在同一条直线上，再利用旋转的性质和正方形的性质，证△POQ是直角三角形，求出S△POQOP?OQ4×4＝8，最后由S四边形OBPC＝S△OCP+S△OBP＝S△OBQ+S△OBP＝S△POQ求解．

【详解】解：如图，

∵四边形ABCD是正方形，

∴OC＝OB，∠BOC＝90°，

∴将△OCP顺时针旋转90°，则到△OBQ的位置，

则△OCP≌△OBQ，

∵∠BPC＝90°，

∴∠OCP+∠OBP＝360°﹣90°﹣90°＝180°，

∴∠OCP＝∠OBQ，

∴∠OBQ+∠OBP＝180°，

∴Q、B、P在同一条直线上，

∵PO＝4，△OCP≌△OBQ，

∴QO＝PO＝4，∠COP＝∠BOQ，

∴∠QOP＝∠BOC＝90°，

∴△POQ是直角三角形，

∵S△POQOP?OQ4×4＝8，

∴S四边形OBPC＝S△OCP+S△OBP＝S△OBQ+S△OBP＝S△POQ＝8，

故选：B．

【点睛】本题属旋转综合题目，考查了旋转的性质，正方形的性质，利用旋转性质和数形结合思想得出S四边形OBPC＝S△OCP+S△OBP＝S△OBQ+S△OBP＝S△POQ是解题的关键．

2．一副三角板按图1所示的位置摆放，将△DEF绕点A(F)逆时针旋转60°后(图2)，测得CG＝10cm，则两个三角形重叠(阴影)部分的面积为(?????)

A．75cm2； B．（25＋25)cm2； C．(25＋)cm2； D．(25＋)cm2

【答案】C

【分析】过点G作，根据题意及三角函数可得，，结合图形求解即可得出结果．

【详解】解：过点G作，如图所示，

，，，

在中，

，

在中，

，

∴，

阴影部分的面积为：，

故选：C．

【点睛】本题考查旋转、三角形的面积公式，锐角三角函数解三角形等，掌握旋转的特征和三角形的面积公式是解答本题的关键．

3．如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO′=6+4；⑤S△AOC+S△AOB=6+，其中正确的结论是（）

A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②④⑤ D．①②③④⑤

【答案】D

【分析】证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；

由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；

在△AOO′中，由三边长为3，4，5，得△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB=150°，故结论③正确；

S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+4，故结论④正确；

将△AOC绕A点顺时针旋转60°到△ABO位置，S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+，故结论⑤正确．

【详解】如图，

由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，

∴∠1=∠3，

又∵OB=O′B，AB=BC，

∴△BO′A≌△BOC，

又∵∠OBO′=60°，

∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，

故结论①正确；

如图，连接OO′，

∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，

∴△OBO′是等边三角形，

∴OO′=OB=4．

故结论②正确；

∵△BO′A≌△BOC，

∴O′A=5．

在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，

∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，

∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，

故结论③正确；

S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=×3×4+×42=6+4，

故结论④正确；

如图2，将△AOC绕A点顺时针旋转60°到△ABO位置，

同理可得S△AOC+S△AOB=S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+，故⑤正确；

故选D．

【点睛】本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．

4．如图，将绕点逆时针旋转60°得到，连接．若，，则四边形面积的最小值是（）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将四边形的面积转化为，再进行分析解答

【详解】由旋转得：，

∴，

设四边形面积为S，

∴．

由旋转可知，AB＝AD，而∠DAB＝60°，

∴△ABD